10.7. Двумерная квантовая теория поля

Если как в разд. 6.9, — пространство решений уравнения Дирака

для функций поляризованное с помощью оператора: энергии то гильбертово пространство

— это пространство, прямые в котором являются состояниями ансамбля фермионных частиц и античастиц, эволюция которых описывается уравнением (10.7.1).

Алгебра Ли действует на . В (6.9.9) мы видели, что в этой алгебре Ли можно найти элементы, удовлетворяющие «каноническим коммутационным соотношениям», т. е. элементы которые для любой гладкой функции с компактным носителем на удовлетворяют (6.9.9). Мы можем рассматривать их как операторы, действующие в Символически их принято записывать в виде

где определенные таким образом это «операторнознач-ные распределения» на . В этих обозначениях соотношения (6.9.9) принимают вид

Кроме того, соотношение (6.9.8) показывает, чтоф это производная по времени распределения при естественной эволюции по времени элементов из

Операторы как и ожидалось, действуют на пространстве состояний ансамбля бозонов. Легко видеть, что они сохраняют «заряд», т. е. разложение на «зарядовые секторы»

Кроме того, можно показать [24], что нейтральный сектор порождается последовательным применением к вакуумному вектору Этот факт обычно выражается словами «нейтральный сектор в теории свободных массивных фермионов, удовлетворяющих уравнению (10.7.1), эквивалентен некоторой теории бозонов».

Математически один из интересных фактов, касающихся представления соотношений (10.7.2) на состоит в том, что они не соответствуют теории «свободных полей»; фактически это представление никак нельзя получить из некоторого представления Гейзенберга группы, алгебра Ли которой порождена операторами Похоже, что это единственное известное представление этих коммутационных соотношений, нетривиальное в описанном выше смысле.

Еще более удивительный факт состоит в том, что физики верят, что стандартная эволюция по времени элементов из дает в высшей степени нелинейную эволюцию полей согласно уравнению -Гордона

Этот факт был впервые замечен Коулмэном [29] и более явно продемонстрирован Мандельштамом [111]. Математически ясная формулировка этого результата, кажется, все еще не найдена. [24].

В конце разд. 6.9 мы отмечали, что группа отображений с компактным носителем может рассматриваться как подгруппа в Следовательно, она проективно действует на В работе [24] показано, что при это дает факторное представление типа III. Так же обстоит дело и с аналогичным действием на Это единственные известные нам примеры представлений группы которые не возникают из представлений группы