9.1. Общие замечания о представлениях

Терминология

Представлением топологической группы G мы всегда будем называть полное локально выпуклое комплексное топологическое векторное пространство на котором G непрерывно действует -линейными отображениями. Непрерывность действия означает, что сопоставление задает непрерывное отображение топологических пространств . В первую очередь нас интересуют унитарные представления в гильбертовых пространствах, однако удобно работать в более общей ситуации. Например, естественное действие окружности Т на окружности поворотами дает представление этой группы любом из следующих векторных пространств:

в пространстве гладких функций

в пространстве непрерывных функций

в любом из банаховых пространств для

в пространстве распределений на но в представления не возникает.

Мы не хотим рассматривать эти представления группы Т как существенно различные, и поэтому по определению называем представления группы G существенно эквивалентными, если существует непрерывное линейное отображение которое инъективно, обладает плотным образом и эквивариантно относительно действия

Представление называется неприводимым, если оно не содержит ни одного замкнутого инвариантного подпространства.

Пусть представление группы Ли вектор называется гладким, если отображение заданное соответствием является гладким. Гладкие векторы образуют G-инвариантное подпространство в на котором действует алгебра Ли группы Ли Вообще говоря, нельзя надеяться, что все векторы в окажутся гладкими, и мы будем называть представление гладким, если плотно в

Иногда мы будем рассматривать двойственное представление к представлению с контрагредиентным действием если:

элемент действует в матрицей то он же действует в матрицей обратной к транспонированной. Мы всегда будем наделять топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах. Тогда оказывается локально выпуклым и полным топологическим векторным пространством, а канонически изоморфно пространство это комплексно сопряженное к т. е. пространство непрерывных антилинейных отображений С.

Представления группы Мар(Х; G)

Хотя эта книга посвящена группам петель, мы сделаем несколько общих вводных замечаний о теории представлений групп отображений где X — компактное многообразие. Если то по существу известно только одно интересное неприводимое представление этой группы.

Пусть -конечное подмножество в Рассматривая значения функций в точках из мы получаем гомоморфизм

Для набора неприводимых представлений группы G мы можем задать неприводимое действие группы на пространстве с помощью Более общо, так как группа это своего рода произведение семейства экземпляров группы занумерованных точками из X, то можно ожидать, что неприводимые представления группы юкажутся «непрерывными тензорными произведениями»

семейств неприводимых представлений группы Теория представлений для с такой точки зрения была развита в работах Гельфанда и его соавторов [59], [151]. (Короткий обзор этих работ можно найти в Здесь мы лишь вскользь коснемся этого.

Пусть V — представление группы тогда представление группы Конечно, оно в высшей степени приводимо, ибо отображения обращающиеся в нуль на произвольном замкнутом подмногообразии образуют инвариантное подпространство. Заметим, что функторы взятия симметрической и внешней алгебр линейного пространства

обладают «экспоненциальным» свойством:

и если представлять себе как «сумму» экземпляров пространства V, занумерованных точками X, то резонно рассматривать как непрерывные тензорные произведения желаемого типа. К сожалению, эти представления еще более приводимы, чем Однако в некоторых случаях можно модифицировать действие на этих пространствах так, чтобы получить неприводимое представление.

Симметрическую алгебру можно отождествить с кольцом полиномиальных функций на двойственном к пространстве В этом свете становится ясно, что линейные преобразования пространства индуцируются не только линейными, но и аффинными преобразованиями пространства Оказывается, что, комбинируя изначальное линейное действие группы на с подходящими аффинными сдвигами, иногда удается найти аффинное действие на индуцирующее неприводимое представление группы на Точнее, необходимо предположить, что V — унитарное представление и выбрать некоторую меру на в результате на возникает -скалярное произведение. Гильбертово пополнение симметрической алгебры — см. далее разд. 9.5 — состоит из квадратично-суммируемых голоморфных функций на относительно гауссовой меры, определенной скалярным произведением на Мы определим унитарное действие аффинного преобразования пространства на полагая

Очень важный частный случай этой конструкции возникает, когда компактная группа Ли, -компактное многообразие, пространство гладких -форм на X со значениями в алгебре Ли группы Ли Эквивалентно, это пространство связностей тривиального главного G-расслоения на В этом случае имеется аффинное действие группы на Е:

Это действие можно перенести на и индуцированное унитарное действие группы на как известно оказывается неприводимым для Мы будем называть его представлением Гельфанда. Похоже, что это единственное неприводимое представление группы для

компактной группы Ли G и для за исключением представлений, вырожденных в том смысле, что они пропускаются через отображение ограничения для некоторого собственного подмножества

Естественно искать представления в которых симметрично участвуют все точки из Это свойство можно сформулировать следующим образом. Пусть некоторый диффеоморфизм; тогда для любого представления группы можно определить новое представление компонуя старое действие с автоморфизмом группы индуцированным диффеоморфизмом Можно спросить, изоморфно ли представление представлению для некоторой транзитивной группы диффеоморфизмов многообразия Представление Гельфанда обладает свойством для всех диффеоморфизмов сохраняющих меру. Представления групп петель, которые мы будем изучать, инвариантны относительно всех диффеоморфизмов окружности. Для аналогичные представления неизвестны.

В случае группы петель представление Гельфанда оказывается приводимым. Френкель [47] привел следующее очень интересное эквивалентное описание этого представления, которое устанавливает его связь с «регулярным представлением» группы

Пусть обозначает пространство непрерывных путей начинающихся в единице группы Для любого на имеется мера которая называется мерой Винера. Она характеризуется следующим свойством: отображение вычисления в момент времени превращает в меру на плотность которой — это фундаментальное решение уравнения теплопроводности на G в момент времени Группа непрерывных петель действует на по правилу где (ср. (4.3.5))

Мера квазиинвариантна относительно группы которая, тем самым, унитарно действует на гильбертовом пространстве Орбиты действия на соответствуют классам сопряженности в классу сопряженности со соответствует множество путей, которые кончаются в . Представление разлагается, таким образом, в прямой интеграл семейства представлений Член этого семейства с можно назвать регулярным представлением. Легко видеть, что компоненты в свою очередь очень приводимы.

Как мы заметили в разд. 4.3, диффеоморфизм между и который задается неопределенным интегралом, т. е. соответствием где зквивариантен относительно, аффинного действия (9.1.1) группы на и относительно действия (9.1.2) на Формально мера Винера , на это

где

— энергия, пути я. Поэтому формально , соответствует естественной гауссовой мере на с вариацией Наблюдение Френкеля состоит в том, что это утверждение можно сделать точным, так что представление Гельфанда группы на фактически эквивалентно ее действию на

На этом мы закончим общий обзор и перейдем к замечательному классу представлений группы петель, который будем, изучать в дальнейшем; мы называем этот класс представлениями с положительной энергией. Критический момент состоит в том, что однородные пространства упоминавшиеся выше, обладают естественной структурой комплексных многообразий. (Здесь централизатор в G некоторого элемента из класса Вместо пространства непрерывных функций на. этих многообразиях мы можем рассматривать пространства голоморфных сечений различных линейных расслоений, что дает нам широкий класс неприводимых проективных представлении группы