8.11. Однородное пространство, связанное с римановой поверхностью: пространства модулей векторных расслоений

В трех предыдущих главах мы всегда выбирали поляризацию гильбертова пространства в виде где пространство граничных значений голоморфных функций в диске Естественное обобщение этого состоит в замене диска другой римановой поверхностью, для которой границей является окружность.

Итак, пусть X — компактная риманова поверхность с отмеченной точкой и фиксированным локальным параметром в окрестности Мы будем обозначать локальный параметр символом и считать, что голоморфное отображение окрестности точки в окрестность точки сферы Римана. Мы будем считать, что и что z является изоморфизмом между окрестностью точки и областью на сфере Римана. Стандартную окружность можно идентифицировать с окружностью вокруг Обозначим часть поверхности X, где символом а дополнение к области, где

- символом Отсюда

С этими данными связано подпространство аналогичное Это замкнутое подпространство в состоящее из граничных значений голоморфных отображений

Предложение (8.11.1). Пространство лежит в и его виртуальная размерность равна где род поверхности

Мы отложим доказательство этого предложения и займемся описанием орбиты точки под действием комплексной группы петель по аналогии с описанием в (8.3.1) как

Пусть обозначает кольцо рациональных функций на X, которые голоморфны везде, кроме где имеют полюс произвольного порядка. Используя локальный параметр z, можно считать некоторым кольцом функций от z. В этом качестве оно действует операторами умножения на гильбертовом пространстве а значит, на

Определение (8.11.2).

Если X — сфера Римана, то это кольцо многочленов совпадает с Мы докажем, что всегда является однородным пространством для

Напомним для начала, что является конечно порожденной, алгеброй с фильтрацией, задаваемой порядком полюса в Она содержит единственный, с точностью до умножения на константу, элемент каждой достаточно большой степени. Точнее, если А — векторное пространство функций из с порядком полюса то теорема Вейерштрасса пробелах» [68] утверждает, что размерность А равна при здесь род поверхности

Предложение (8.11.3). является орбитой точки под действием

Доказательство. Пусть лежит в Подпространство в состоящее из функций конечного порядка, плотно в согласно предложению (7.3.2), и является модулем над Как и модуль обладает возрастающей фильтрацией по порядку полюса в . Мы знаем, что начиная с достаточно большого откуда следует, что конечно порожденный -модуль. Очевидно, что это модуль без

кручения, а значит, он проективен дедекиндово кольцо) Это означает, что он является модулем сечений некоторого алгебраического векторного расслоения на со слоем который равен где Как голоморфное расслоение тривиально, ибо на аффинной кривой не бывает нетривиальных голоморфных расслоений. Поэтому можно выбрать голоморфные сечения Для значения которых в любой точке порождают слой В частности, матрица обратима в каждой точке 2 окружности и определяет петлю такую, что

Стабилизатор точки в очевидно, совпадает с группой петель, которые являются граничными значениями голоморфных отображений и предыдущее предложение дает

Доказательство этого предложения показывает, кроме того, что точка отождествляется с классом изоморфизма пар где голоморфное векторное расслоение на тривиализация которая гладко продолжается на Естественное действие на транзитивно действует на тривиализациях; это доказывает следующее обобщение теоремы о разложении Биркгофа.

Предложение (8.11.5). Пространство двойных смежных классов

совпадает с пространством классов изоморфизма -мерных голоморфных векторных расслоений на

В действительности удобнее и привычнее рассматривать другое пространство двойных смежных классов: Это пространство классов изоморфизма расслоений вместе с фиксированным изоморфизмом слоя в и Это пространство лучше, чем потому что свободно действует на открытом плотном множестве из и является стягиваемой группой. Факторпространство гомотопически эквивалентное является пространством модулей -мерных векторных расслоений в смысле [119]. (Ср. также [7].)

Интересно рассмотреть гомотопический тип группы и однородного пространства Любая петля у из имеет

нулевое число вращения, т. е. стягивается к точке, потому что, если ее определитель является граничным значением голоморфной функции в то число вращения петли у равно числу нулей функции в С другой стороны, группа не является связной, ибо имеет корректно определенное число вращения вдоль любой нетривиальной петли в . В действительности группа связных компонент равна

где род поверхности Она совпадает с группой гомотопических классов отображений или, эквивалентно, классов отображений Справедлив даже более сильный, результат.

Предложение (8.11.6). (i) Группа гомотопически: эквивалентна группе непрерывных отображений

Пространство гомотопически эквивалентно пространству отображений сохраняющих отмеченную точку, т. е. пространству топологических -расслоений на X (вместе с изоморфизмом между слоем в этого предложения обозначает классифицирующее пространство для группы Справедливость, восприятия пространства отображений как «пространства» векторных расслоений на X можно обосновать с разных точек зрения. В сущности, дело в том, что для заданного расслоения на X пространство пар где некоторый изоморфизм между и обратным образом универсального расслоения на является, стягиваемым. Отсюда следует, что пространство отображений гомотопически эквивалентно «пространству» или «реализации» категории векторных расслоений на X в смысле [128]. Точнее, пространство отображений имеет по одной связной компоненте для каждого класса изоморфизма расслоений на X, и компонента, соответствующая расслоению имеет гомотопический тип пространства классифицирующего пространства для «калибровочной группы» всех автоморфизмов расслоения За дальнейшей информацией об этом пространстве мы отсылаем читателя к статье [7].

Утверждение (ii) предложения (8.11.6) непосредственно следует из утверждения Действительно, гомотопически эквивалентно слою расслоения т. е. слою отображения

Последовательность корасслоений показывает, что этот слой совпадает с

Доказательство Чтобы не отвлекаться в сторону, мы ограничимся тем, что покажем, как наше утверждение легко вывести из результатов статьи [130].

Доказательство проводится индукцией по Рассмотрим сначала случай Мы уже доказали, что гомотопически эквивалентно пространству где обозначает пространство голоморфных отображений, которые гладко продолжаются на обозначает непрерывные отображения. (Допустимо, и это удобнее, заменить на ) Точная последовательность групп

показывает, что каждая связная компонента имеет гомотопический тип окружности; то же верно и для непрерывных отображений. Поэтому достаточно доказать, что правое отображение в (8.11.7) является сюръективным. Это так, ибо его коядро равно , где — это пучок ростков голоморфных функций на Эта группа равна нулю, потому что — штейново многообразие.

Переходя к шагу индукции, рассмотрим голоморфное расслоение

где группа ступенчатых матриц, равная стабилизатору одномерного подпространства в а есть -мерное комплексное проективное пространство. Чтобы доказать гомотопическую эквивалентность достаточно показать, что последовательность

является расслоением (т. е. показать, что имеются локальные сечения), а также что включения

и

являются гомотопическими эквивалентностями. То, что последовательность непрерывных отображений, аналогичная (8.11.8), является расслоением, тривиально. Далее, как

комплексное многообразие изоморфно значит, гомотопически эквивалентно произведению

и, следовательно, пространству в силу предположения индукции. С другой стороны, как доказано в [130], отображение (8.11.9) является гомотопической эквивалентностью. (Строго говоря, доказательство из [130] приложимо к голоморфным отображениям которые вещественно-аналитически продолжаются на о, потому что в нем предполагается, что однородные координаты отображения имеют лишь конечное число нулей. Однако, как легко видеть, пространство всевозможных наборов по из попарно непересекающихся подмножеств из без точек накопления в гомотопически эквивалентно пространству из [130], причем гомотопическая эквивалентность устанавливается с помощью отображения , где получается из удалением приграничной полоски малой ширины

Осталось объяснить, почему -расслоение. Второе отображение сюръективно, ибо голоморфное отображение это все равно, что голоморфное линейное подрасслоение Чтобы поднять это отображение в необходимо установить некоторый изоморфизм между двумя точными последовательностями

и

Это можно осуществить в силу штейновости . С учетом сюръективности и того, что тотальное пространство является группой, достаточно доказать существование локальных сечений для (8.11.8) вблизи постоянного отображения . А это очевидно, потому что отображение имеет голоморфные сечения.

Доказательство (8.11.1). Мы закончим этот раздел опущенным ранее доказательством предложения (8.11.1). Фактически мы докажем чуть более общий результат.

Предложение (8.11.10). Пусть есть -мерное голоморфное векторное расслоение на X с фиксированной тривиализацией в окрестности X». Пусть замкнутое подпространство в состоящее из граничных значений голоморфных

сечений расслоения над Тогда лежит в и его виртуальная размерность равна

где пучок голоморфных сечений расслоения В действительности совпадают с ядром и коядром ортогональной проекции

Доказательство. Заметим сначала, что проекция допускает представление

для некоторого такого, что Здесь оператор из разд. 7.6, такой, что оператор ограничен, потому что ставит в соответствие граничному значению голоморфного сечения расслоения над функцию т. е. значение на окружности, слегка сдвинутой от границы внутрь Оператор компактен, а и проекция компактна. Отсюда следует замкнутость образа проекции

Пусть теперь открытые множества, которые чуть больше, чем как штейновы многообразия, ядро и коядро отображения

переводящего можно отождествить с Переходя к прямому пределу, когда стремятся к и X», мы получаем, что эти же группы являются: ядром и коядром отображения

а значит, и отображения

(Здесь обозначает множество вещественно-аналитических функций из ) Ядро отображения (8.11.11) совпадает с ядром проекции потому что элемент ядра последнего отображения является общим граничным значением для двух функций, голоморфных в Кроме того, нам известно, что отображение имеет замкнутый образ его коядро должно совпадать с коядром отображения По существу это завершает доказательство: осталось только

заметить, что лежит в ибо имеет вид для некоторого , где определено аналогично по окружности в