8.4. Стратификация Gr(n): разложения Биркгофа и Брюа

До конца этой главы, за исключением приложения, мы будем, работать только с гладким грассманианом и с его подпространством не используя гильбертова многообразия Поэтому мы изменим обозначения-, символы без нижнего индекса теперь означают гладкие пространства.

Так как можно отождествить с теорема Биркгофа (8.1.2) дает описание орбит действия на она утверждает, что на каждой -орбите имеется точка вида единственная с точностью до перестановки множества Мы докажем чуть более точное утверждение. Пусть подгруппа в состоящая из петель у, для которых верхняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали; тогда мы покажем, что любая орбита действия на содержит единственную точку вида Фактически мы покажем, что орбиты действия это пересечения со стратами пространства которые были определены в гл. 7.

Рассуждения, которые мы собираемся излагать, совершенно элементарны и непосредственны, однако довольно утомительны. Поэтому мы сначала отметим следующую геометрическую интерпретацию того, что будет доказано впоследствии. Неподвижные точки действия Т на с помощью поворотов (см. (8.1.4)) - это, как легко видеть, гомоморфизмы соответствующие подпространствам Однако действие Т продолжается до действия полугруппы (см. разд. 7.6), и для любого точка стремится к неподвижной точке относительно действия Т при Оказывается, если то лежит в -орбите (Заметим, что если то стремится к постоянной петле при

Стратификация пространства была определена для а в этой главе мы работаем с По существу, все, что необходимо, — это гильбертово пространство с ортонормированным базисом, занумерованным целыми числами. Однако удивительно удобно отождествить способом, описанным в разд. 6.5, и воспринимать элементы этого пространства иногда как векторнозначные функции от z, а иногда как скалярные функции от которые связаны между собой формулами (6.5.1). Итак, в имеется

ортонормированный базис и определение можно переписать в виде

Напомним, что представимо как объединение непересекающихся стратов где лежит в если — множество целых чисел таких, что содержит элемент порядка Если лежит в то очевидно, что

Множества удовлетворяющие этому условию, полностью определяются дополнением для в , которое должно состоять из элементов, по одному из каждого класса смежности по модулю . Они в точности соответствуют гомоморфизмам из Т в максимальный тор группы гомоморфизму соответствует множество , такое, что

Подпространство порожденное — это

Таким образом, страты пространства которые пересекаются с можно занумеровать гомоморфизмами Мы будем писать вместо вместо

Отметим, что как группа операторов подгруппа является пересечением с нижней треугольной подгруппой из

Предложение (8.4.1). Орбита подпространства относительно действия совпадает с . Ее можно отождествить с подгруппой в где

Доказательство. Страты пространства это орбиты под действием группы согласно предложению (7.3.3). Так как группа содержится в любая орбита действия лежит в некотором .

Если то проекция является изоморфизмом. Пусть прообраз где стандартный базис в Функции гладкие; кроме того, множество образует базис для так как его

проекция образует базис для плотно в пространстве состоящем из гладких функций в потому что плотно в Из (8.3.3) мы знаем, что отображение вычисления сопоставляющее функции ее значение в точке z, сюръективно для любой точки ибо содержит функций, которые образуют столбцы гладкого отображения Поэтому линейно независимы в для любого лежит в

Далее,

где «меньшие члены» относится к лексикографическому упорядочению элементов базиса Итак,

Другими словами, является граничным значением голоморфного отображения полусферы -матрицы, и —верхняя треугольная матрица. Далее, Но определитель петли у не может обращаться в нуль при ибо в противном случае число вращения на также было бы ненулевым в противоречие с тем, что виртуальные размерности совпадают.

Наконец, петля у лежит и в и в Поэтому базисные элементы, встречающиеся в «меньших членах» из только меньше, чем но и лежат в означает, что, применяя оператор к (8.4.2), мы получим (элемент из

Таким образом, мы доказали предложение (8.4.1); для доказательства теоремы о разложении Биркгофа (8.1.2) нам осталось показать, что отображение умножения является диффеоморфизмом на открытое плотное подмножество связной компоненты единицы. Это очень легко. Отображение из в гладкий грассманиан гладко. На открытом подмножестве в для которого лежит в координатной карте т. е. когда является графиком оператора имеем где столбцы это Итак, (а следовательно, и ) гладко зависит от у.

Предыдущие рассуждения показывают, что снабженный топологией, индуцированной с локально гомеоморфен и следовательно, является гладким многообразием. Более того, является подмногообразием в : легко

видеть, что в координатной окрестности для которая отождествляется с пространством линейных отображений имеется открытое подмножество, которое является произведением и линейного пространства

Доказательство предложения (8.4.1) показывает, что группа диффеоморфна однородному пространству где это т. е. конечномерная подгруппа, являющаяся стабилизатором в Это означает, что отображение умножения

является диффеоморфизмом.

Разложение (8.4.3), очевидно, возникает из разложения базиса алгебры Ли группы на два подмножества, которые порождают две подгруппы, стоящие слева. Тот факт, что подобное разложение алгебры Ли порождает разложение группы, хорошо известен и является элементарным фактом для конечномерной односвязной нильпотентной группы ([20, гл. III, § 9" п°5]); (8.4.3) - по существу конечномерный результат, ибо для больших группа содержит нормальную подгруппу группы которая состоит из петель , таких, что имеет нуль порядка при конечномерна.

нильпотентна, потому что абелева для В данный момент нам интереснее другое разложение, модификация (8.4.3):

где подгруппа состоящая из петель 7, таких, что нижняя треугольная матрица с единицами по диагонали.

Теорема (8.4.5). (i) Отображение задает диффеоморфизм между и некоторой стягиваемой открытой окрестностью подпространства

Страт является стягиваемым замкнутым подмногообразием в комплексной коразмерности

где число пар таких, что но

(iii) Орбита относительно образует комплексную клетку комплексной размерности которая трансверсально пересекается с в единственной точке Разложение (8.4.4) дает диффеоморфизм

(iv) Объединение клеток образует в действительности это пересечение с клеткой из

Замечания, (i) Мы будем называть клетки клетками Брюа для Отметим, что из теоремы (8.4.5) следует теорема Брюа (8.1.3).

(ii) Страт является стягиваемым и диффеоморфен . Но мы не можем утверждать, как в аналогичной конечномерной теореме, что группа диффеоморфна своей алгебре Ли относительно экспоненциального отображения, потому что экспоненциальное отображение для не сюръективно. Гудман и Уоллех привели пример элемента у из который не лежит в образе

Этот элемент не может быть равен потому что

не лежит в образе для

Доказательство (8.4.5). Несколько предварительных замечаний. Стягиваемость и следует из стягиваемости групп которые состоят из голоморфных функций в диске и могут быть стянуты с помощью гомоморфизмов где

Орбита стягиваема по тем же соображениям (примененным к диску Она является клеткой, потому что экспоненциальное отображение для нильпотентной группы является диффеоморфизмом.

Доказательство того, что пересечение в точности повторяет доказательство предложения

Остается вычислить размерность группы Так как сопряжение с помощью умножает элемент матрицы

на мы получаем, что открытое подмножество матричнозначных функций таких, что

Отсюда немедленно следует формула для

В теореме (8.4.5) по сравнению с предложениями (7.3.3) и (7.4.1) отсутствует описание замыканий стратов и клеток Мы удовлетворимся более слабым утверждением, которое сформулируем в предложении (8.4.6).

В начале нашего обсуждения нас интересовали орбиты относительно действия на а не орбитами относительно Ясно, что орбита подпространства относительно содержит для любой перестановки о множества где Она не содержит ни для какого другого что можно усмотреть из того факта, что действие на не меняет размерности Таким образом, эта орбита является объединением стратов мы обозначим ее Аналогичным образом, орбита относительно состоит из объединения клеток и будет обозначаться Заметим, что если то 2а образует плотное открытое подмножество в и если то плотное открытое подмножество в

Множество мультииндексов а, таких, что можно отождествить с множеством классов сопряженности гомоморфизмов Мы упорядочим такие мультииндексы по следующему правилу: а если

и

Расположение множеств описано в следующем предложении; предполагается, что все индексы а записаны в убывающем порядке:

Предложение (8.4.6). (i) Орбиты относительно группы нумеруются классами сопряженности гомоморфизмов Множество является локально замкнутым подмногообразием в коразмерности Кроме того, лежит в замыкании если и только если а

(ii) Орбиты относительно группы нумеруются точно так же, и является локально замкнутым подмногообразием в размерности где Замыкание орбиты содержит если и только если

(iii) пересекается с если и только если пересекается с трансверсально по множеству гомоморфизмов которые сопряжены к

Замечание. это обобщенное многообразие флагов вида размерности в обозначениях теоремы (8.4.5).

Доказательство. Нужно доказать лишь утверждения об упорядочении и о пересечении

Для любого убывающего мультииндекса а и для любого целого положим

где обозначает а, если , и нуль в противном случае. Легко проверить, что если то

и

а также

Отсюда следует, что если лежит в замыкании множества или лежит в замыкании множества или пересекается с

Если же то, кроме того,

для всех следовательно,

где некоторое ортогональное разложение пространства Отсюда следует, что где гомоморфизм, определенный формулой

относительно разложения Итак, Это пересечение трансверсально, ибо касательное пространство к можно отождествить с алгеброй Ли группы Ли а тогда касательные пространства к соответствуют пересечению со слагаемыми разложения

Мы доказали часть «только если» трех утверждений предложения (8.4.6). Для доказательства обратных утверждений рассмотрим сначала некоторую пару где для некоторых причем

а и стоят на местах соответственно. Мы покажем, что можно соединить с (где получается из перестановкой элементов) комплексной проективной прямой которая, за исключением концевых точек лежит в

Существует вложение группы в группу которое переводит

в матрицу отличающуюся от единичной только в столбцах и строках; при этом

Рассмотрим орбиту подпространства под действием группы которое индуцировано вложением Ее стабилизатор состоит из нижних треугольных матриц; значит, эта орбита является обычной проективной прямой: Все точки этой орбиты, кроме бесконечности, образуют орбиту относительно строго верхних треугольных матриц из Эти матрицы отображаются в следовательно, лежит в Точка, соответствующая бесконечности, — это где

т. е. пространство которое лежит в Итак, замыкание множества содержит . С другой стороны, это орбита пространства относительно действия строго нижних треугольных матриц, которая лежит в Значит,

замыкание орбиты содержит пересекается с

Доказательство в случае закончено. В общем случае первые два утверждения об упорядочении следуют из того, что любой мультииндекс можно получить, добавляя к а некоторое количество мультииндексов вида (см. [108] (1.15)). Третье утверждение мы оставляем читателю.