8. Функции Шура и «тау»-функция

Мы уже приводили явные формулы (3.4) и (3.5) для «тау»-функции как бесконечного определителя. Для некоторых целей полезно сделать эту формулу более явной, раскладывая эти детерминанты специальным образом; результат следующий: х-функция может быть записана как бесконечная линейная комбинация функций Шура.

Мы начнем с обзора основных определений, касающихся разбиений и функций Шура (более подробное изложение есть, например, в [13]; ср. [17, разд. 10.3]). Под разбиением мы понимаем бесконечную последовательность неотрицательных целых чисел, таких, что и лишь конечное число отлично от нуля. Число называется весом Любому разбиению соответствует функция Шура Это многочлен с целыми коэффициентами от переменных однородный веса если вес равен который можно задать как определитель

где любое достаточно большое число, такое, что для Здесь мы считаем, что для ; ясно, что значение определителя не зависит от выбора Одна из причин, по которой важны функции Шура, состоит в том, что они являются характерами общих линейных групп каждому разбиению соответствует неприводимое представление группы (для достаточно большого и его характер равен где

т. е. это «полные однородные симметрические функции» от собственных значений матрицы А. В нашем контексте, впрочем,

функции Шура возникают совершенно формальным образом, и представления групп кажется, для нас не существенны.

Пусть о обозначает множество всех подмножеств виртуальной мощности нуль (см. 117, разд. 7.1]), т. е. состоит из всех строго возрастающих последовательностей целых чисел, таких, что для всех кроме конечного числа.

Лемма (8.1). Имеется взаимно однозначное соответствие между элементами из и разбиениями, которое задается отображением

Доказательство тривиально. Заметим, что вес разбиения равен длине соответствующего т. е. коразмерности страта Далее мы будем писать обозначая этим функцию Шура для разбиения, соответствующего элементу

Напомним ([17, разд. 7.1]), что это замкнутое подпространство в порожденное

Предложение (8.2). Пусть где тогда х - функция для равна

где мы положили

Доказательство. Мы используем формулу (3.4). В качестве допустимого базиса для выберем где Отображение переводит функцию где обозначает ортогональную проекцию на Если разложить описанным выше образом, то матрица отображения принимает вид

Поскольку при больших эта матрица является строго верхней треугольной (т. е. с единицами на главной диагонали), за исключением конечного блока в верхнем левом углу. Матрица отображения строго верхняя треугольная, откуда следует, что -функция

равна определителю этого конечного блока. Доказательство предложения этим заканчивается.

Рассмотрим теперь произвольное подпространство нулевой виртуальной размерности. Фиксируем допустимый базис для Как и в § 3, мы представляем как -матрицу в естественном базисе для Для любого обозначим символом определитель -матрицы, образованной строками из занумерованными числами если мы полагаем

Мы называем числа плюккеровыми координатами пространства они являются однородными координатами, так как другой выбор допустимого базиса для одновременно умножает все на общую ненулевую константу. Как и в конечномерном случае, можно считать, что плюккеровы координаты задают вложение грассманиана в проективное пространство (см. приложение к § 10). Заметим, что не равно нулю, в точности когда трансверсально действительно, это определитель ортогональной проекции пространства на в базисах для для . В частности, согласно [17, (7.1.6)], существует такое 5, что ; кроме того, легко видеть, что среди возможных подмножеств имеется единственное подмножество минимальной длины. Если выбрать так, чтобы имело вид (оператор конечного ранга), то сводится к конечным определителям. Например, для трансверсальных можно добиться того, чтобы равнялось единице, и, положив мы получаем

Предложение (8.3). Для подпространства -функция равна

где плюккеровы координаты для суммирование идет по всем переменные связаны с так же, как и в предложении (8.2).

Доказательство. Заметим сначала, что если это -матрицы и то

где суммирование идет по всем подмножествам из элементов, определитель из столбцов из у с номерами из определитель из соответствующих строк (Это тождество выражает просто функториальность внешней

пени.) Несложно увидеть, что такое же тождество справедливо и для произведения бесконечных матриц, занумерованных с помощью вида

где являются операторами со следом, а 5 пробегает подмножества из виртуальной мощности нуль. Мы применим это к определителю (3.4) для х-функции, где

Тогда плюккеровы координаты, определенные выше, а это -функция для которая была вычислена в предложении (8.2). Это заканчивает доказательство.

Как мы видели в § 5, для приложений к дифференциальным уравнениям следует записывать элементы в виде

(мы пишем вместо х, как в § 5). Мы будем писать отражая зависимость -функции от этих «координат» на чтобы вычислить используя предложения (8.2) или (8.3), необходимо лишь выразить через пользуясь соотношением

Каждое является однородным многочленом от степени если считать вес равным Если рассматривать как симметрические функции собственных значений переменной матрицы, как выше, то принимает вид

(это отличается знаком от соглашения, принятого в [5]).

Пример. Пусть Соответствующее разбиение — это и функция Шура равна

Из (8.4) мы имеем и по (8.2) -функция равна

Мы закончим этот раздел некоторыми примерами использования предложения (8.3). Во-первых, заметим, что лишь конечное число плюккеровых координат отлично от нуля, если и только если значит, из предложения (8.3) следует

Предложение (8.5). Функция полиномиально зависит от (конечного числа) переменных если и только если лежит в

В качестве более существенного приложения предложения (8.3) мы докажем утверждение порядке полюсов функций Мы будем все же писать вместо х. Основной факт в доказательстве — то, что ограничение -функции на однопараметрическую подгруппу не может тождественно равняться нулю. Точнее, справедливо

Предложение (8.6). Для любого

где — коразмерность страта содержащего

В частности, это предложение показывает, что х-функция не обращается тождественно в нуль, что мы неявно использовали в § 5.

Доказательство (8.6). Мы рассмотрим сначала поведение функции Шура при Так как это однородный многочлен веса по ясно, что

где некоторое рациональное число. Мы утверждаем что оно не равно нулю. В самом деле, равно умноженному на обратное к некоторому положительному целому числу, «произведению длин крюков» разбиения, ассоциированного с 5 (см. [13]). Вот явная формула:

где любое достаточно большое число, начиная с которого и где, как обычно, (см. [13]). Мы уже отмечали, что для любого имеется единственное 5 минимальной длины скажем, такое, что плюккерова

координата не равна нулю; такое — это индекс страта, содержащего коразмерность этого страта. Это означает, что в разложении из предложения (8.3) для все члены имеют вес не меньше I, а член минимального веса кратен функции Шура с ненулевым коэффициентом. Поэтому наше предложение немедленно следует из предложения (8.3) и из того, что

Доказательство предложения (5.17). Заменяя на для подходящего мы видим, что достаточно рассмотреть случай полюсов при Мы уже видели в § 5, что функции имеют вид

где полиномиальный дифференциальный оператор от действительно, — это коэффициент при в формальном разложении выражения

Из этого непосредственно следует, что оператор понижает вес на (где, как обычно, вес равен Поэтому разложение числителя в степенной ряд по состоит из членов веса не менее (Если это утверждение бессодержательно.) Поэтому при минимальная степень в числителе может быть равной (члены, содержащие меньшую степень должны содержать одно из при а значит, равны нулю при Предложение (5.17) непосредственно следует теперь из предложения (8.6). Фактически наши рассуждения показывают также, что порядок полюса любой функции не превосходит