Глава 5. Система корней: алгебры Каца-Муди

Общая особенность нашего подхода к группам петель состоит в том, что он не включает в себя детального анализа структуры алгебр Ли этих групп. Эти алгебры Ли являются примерами так называемых алгебр Каца — Муди и их изучению посвящена очень обширная литература (см. [86], [109], [72]). В этой главе мы пытаемся очень кратко объяснить место групп петель в этом контексте. Материал разд. 5.1 и 5.2 будет использован позднее при классификации представлений групп петель, но собственно теория Каца — Муди, намеченная в разд. 5.3, далее упоминаться не будет.

5.1. Система корней и аффинная группа Вейля

В гл. 2 мы объяснили, что решающий шаг в изучении алгебры Ли компактной группы Ли G состоит в разложении ее комплексификации относительно присоединенного действия максимального тора Т группы Имеем

где комплексифицированная алгебра Ли тора а одномерное подпространство в на котором Т действует с помощью гомоморфизма Гомоморфизмы а, входящие в это разложение, называются корнями группы Они образуют конечное подмножество в решетке

Наиболее очевидным разложением комплексифицированной алгебры группы петель является разложение по компонентам Фурье:

Это разложение в сумму собственных подпространств для действия группы окружности целиком поворачивающей петли.

Это действие коммутирует с присоединенным действием постоянных петель, так что мы можем дальше разложить относительно действия максимального тора Т группы G:

Слагаемые в этом разложении индексированы гомоморфизмами т. е. элементами группы Встречающиеся при этом гомоморфизмы (возможно, с нулевым а) снова называются корнями группы

Мы можем переформулировать только что сказанное, вводя полупрямое произведение группы Т на группу на которой Т действует поворотами петель. Централизатором подгруппы является так что есть максимальная абелева подгруппа в Комплексифицированная алгебра Ли группы разлагается в сумму

по характерам группы

В конечномерном случае корни группы G переставляются между собой группой Вейля. Это группа автоморфизмов тора индуцируемых сопряжением в т. е. где -нормализатор подгруппы Если элемент группы то где гомоморфизм задается формулой

Точно таким же образом, бесконечное множество корней в переставляется группой где это нормализатор в Группа называется аффинной группой Вейля (по причинам, которые мы вскоре объясним). Ее структура описывается следующим предложением. Будем обозначать решетку «ковесов» группы G через 7; это решетка всех гомоморфизмов Т — (см. разд. 2.4).

Предложение (5.1.2). Группа есть полупрямое произведение группы Т на группу Вейля группы

Доказательство. Решетка Т является подгруппой в и очевидным образом централизует подгруппу . С другой стороны, если есть операция поворота, соответствующего не Т (т. е. ), то для каждой петли

где Если есть гомоморфизм то это константа поэтому . Обратно,, если лежит в то как функция от z при каждом и должна быть постоянной, откуда вытекает, что отображение есть гомоморфизм Далее, должно принадлежать нормализатору группы Т в отсюда следует, что лежит в и это доказывает (5.1.2).

В конечномерном случае элементы решетки а значит, и все корни, обычно представляют себе лежащими в вещественном векторном пространстве отождествляя гомоморфизм с линейным отображением таким, что Аналогично, корни группы можно представлять себе как линейные формы на алгебре Ли группы . Удобнее,, однако, рассматривать их как аффинно-линейные функции на отождествляя с аффинной гиперплоскостью По этой причине, а также для того, чтобы отличать их от корней группы корни группы часто называют аффинными корнями. Группа линейно действует на действие группы очевидно, а действие элемента в силу (5.1.3) задается формулой

Таким образом, группа сохраняет гиперплоскость а элемент действует на ней сдвигом на вектор

При аффинный корень рассматриваемый как аффинно-линейная функция на с точностью до знака определяется аффинной гиперплоскостью

на которой он обращается в нуль. Набор этих гиперплоскостей называется диаграммой группы Картина для показана на рис. 2.

Связные компоненты дополнения к гиперплоскостям называются альковами этой диаграммы. Напомним, что компоненты дополнения к гиперплоскостям а (образующим диаграмму группы называются камерами. В каждой камере С содержится единственный альков замыкание которого содержит начало координат. Если фиксировать камеру С, то корни группы G называются положительными или отрицательными в зависимости от их знака на С. Соответствующий альков Со есть множество

Аффинный корень называется положительным или отрицательным в зависимости от его знака на Положительные

аффинные корни, соответствующие стенкам алькова , называются простыми аффинными корнями.

Если группа G полупроста, то известно, что каждая камера С является симплициальным конусом, ограниченным I гиперплоскостями соответствующими простым корням группы Здесь I — размерность пространства называемая рангом группы Если простая группа, то у нее «есть старший корень (старший вес присоединенного представления), доминирующий все остальные положительные корни.

Рис. 2.

В этом случае альков есть -мерный симплекс, ограниченный гиперплоскостями и у группы имеется простых корней В общем случае Со есть произведение симплексов, по одному на каждый простой сомножитель группы есть простых корней, а именно для для где старшие веса, входящие в присоединенное представление.

Известно, что конечная группа порождена отражениями относительно гиперплоскостей а и действует просто транзитивно на множестве камер. Соответствующие утверждения справедливы

Предложение (5.1.4). Если группа G односвязна, то

(i) группа порождена отражениями относительно гиперплоскостей

(ii) действует просто транзитивно на множестве альковов.

Доказательство, (i) Мы знаем, что отражение относительно гиперплоскости а лежит в Оно задается формулой

где кокорень, соответствующий корню а (см. разд. 2.4) Имеем так что точка лежит в Поэтому отражение относительно гиперплоскости Яд., а имеет вид

Но принадлежит решетке так что

Обратно, достаточно показать, что сдвиг на вектор принадлежит группе, порожденной отражениями в самом, деле, кокорни порождают решетку Но в силу (5.1.5)

(ii) (См. [20, гл. V, § 3, п°1].) Пусть А—произвольный: альков. Мы должны показать, что Для некоторого Выберем в А точку а. Орбита точки а относительно есть локально конечное подмножество в Мы должны показать, что пересекается с Выберем точку а затем точку с минимальным расстоянием до с. Если то должна быть отделена от с по крайней мере одной стенкой алькова Отражая относительно мы получим точку орбиты 5, более близкую к с, чем -противоречие. действует на альковах транзитивно. Обратно, элемент группы полностью определяется альковом, в который он переводит альков это сразу вытекает из соответствующего факта о действии группы на камерах.

Замечание (5.1.6). Доказательство (ii) фактически показывает, что порождена отражениями относительно гиперплоскостей, соответствующих простым аффинным корням.