10.2. Структура гильбертова пространства

Сейчас мы покажем, что в имеется гильбертово пространство являющееся плотным подпространством и снабженное более тонкой топологией, и что группа сохраняет и действует на нем унитарными преобразованиями. Конечно, предгильбертово пространство: если V — произвольное пространство со скалярным произведением, то мы определим скалярное произведение на полагая

Мы увидим, что — это гильбертово пополнение но пока еще не знаем, действует ли на нем

Наш метод состоит в следующем. Пусть пространство, двойственное к с топологией равномерной сходимости на компактных множествах. Мы определим непрерывное линейное отображение

эквивариантное относительно Это дает нам спаривание

определенное формулой

которое непрерывно по каждой переменной. Покажем, что оно эрмитово и положительно определено, а значит, превращает в предгильбертово пространство. Эквивариантность отображения означает, что сохраняется группой Гильбертово пополнение обозначается через Его можно автоматически отождествить с подпространством, антидвойственным к т. е. с подпространством в (Напомним, что если двойственное пространство к произвольному полному локально выпуклому топологическому векторному пространству снабдить топологией равномерной сходимости на компактных множествах, то (ср. [19, гл. 4, § 2, п. 3])). Итак, мы пришли к ситуации

где оба вложения непрерывны, а их композиция равна

Так как элемент из это голоморфное отображение линейное на слоях, то, чтобы задать отображение достаточно задать голоморфное отображение линейное на слоях, а это в свою очередь равносильно заданию эквивариантного отображения

голоморфного по второй переменной и антиголоморфного по первой и линейного и антилинейного на соответствующих слоях. Определим полагая

где допустимые базисы (ср. разд. 7.5) для пространств в одинаковой виртуальной размерности и

в противном случае. (Заметим, что (10.2.2) имеет смысл, ибо для двух допустимых базисов матрица отличается от единичной на матрицу со следом.) Так как

спаривание (10.2.1) эрмитово.

Для любого индексного множества имеется подпространство с каноническим базисом Значения сечений Det на дают нам элемент из или который снова обозначается Из определения мы видим, что плюккерова координата . С другой стороны,

Итак, образуют ортонормированное семейство в Как мы уже знаем, плюккеровы координаты образуют алгебраический базис плотного подпространства откуда следует, что задает изоморфизм и что скалярное произведение (10.2.1) положительно определено. Итак, мы доказали

Предложение (10.2.3). Плюккеровы координаты образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве которое является плотным подпространством в

Пространство конечно, совпадает с пространством, формально введенным в разд. 7.5. Предложение 10.2.3 показывает одновременно, что является гильбертовым пополнением