14.4. Алгебраическое доказательство формулы для характеров

В этом разделе мы сменим аналитическую и глобальную точку зрения на чисто алгебраическую. Хотя нас по-прежнему интересуют представления группы петель мы введем в качестве технического средства гораздо более широкий класс У комплексных векторных пространств V со следующей дополнительной структурой:

(i) действие алгебры Ли полиномиальных петель,

(ii) действие группы согласованное с действием Т на вращениями, которая удовлетворяет следующим условиям:

(a) V является алгебраической прямой суммой где часть V, на которой действует как т. е. «часть с энергией k».

(b) V обладает положительной энергией, т. е.

(c) Действие Ее на V происходит из диагонализуемого действия тора и характеры Т встречаются в каждом с конечной кратностью.

Из гл. 11 мы знаем, что подпространство векторов конечной энергии в любом неприводимом представлении группы (с положительной энергией) лежит в классе У. С другой стороны, большинство пространств из У не происходит из представлений группы Типичный пример — это векторы конечной энергии из пространства голоморфных сечений ограничения линейного расслоения из разд. 11.1 на открытое плотное множество однородного пространства У. Так как не

инвариантно под действием наша группа не действует на однако имеет смысл операция дифференцирования сечений вдоль касательных векторов, которые соответствуют элементам из

Вероятно, стоит отметить, хотя нам это и не понадобится, что имеется простой критерий того, что пространство V из У происходит из представления группы он состоит в следующем: каждая трехмерная подалгебра соответствующая простым корням группы действует на V суммой конечномерных представлений. [86] называет такие V интегрируемыми.

В этом разделе мы будем изредка пользоваться понятием универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли а (ср. [20, гл. I, § 2], [37]). Задать действие а на У — это все равно, что задать действие Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта [20, гл. I, § утверждает, что изоморфна как векторное пространство симметрической алгебре

Будем писать вместо используя несимметричные обозначения, вместо вместо Так как теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта показывает, что более того, что умножение

дает изоморфизм векторных пространств.

Основной объект в доказательстве формулы для характера — это модуль Верма.

Определение (14.4.1). Модуль Верма это пространство из класса , порожденное вектором таким, что

(i) аннулируется алгеброй

(ii) - собственный вектор для соответствующий характеру X,

(iii) V - «максимально свободный» модуль, удовлетворяющий (i) и (ii), т. е. отображение

которое переводит является изоморфизмом. (Здесь действует на С. характером .)

Очевидно, что если пространство V из содержит вектор удовлетворяющий условиям (i) и (ii) из (14.4.1), то имеется единственный гомоморфизм переводящий в

Предложение (14.4.2).

(i) Если модуль Берма, то отображение переводящее в является изоморфизмом.

(ii) Если произвольный вес из то сумма положительных корней группы и младший вес входит в V с кратностью единица.

Доказательство. Первое утверждение следует из определения (14.4.1) (iii) и изоморфизма Второе утверждение непосредственно вытекает из первого.

Пример. Часть с конечной энергией пространства, антидвойственного к является модулем Верма Циклический вектор — это взятие значения в отмеченной точке. В самом деле, циклический вектор, ибо сечение равно нулю, если равны нулю все его производные в отмеченной точке, а с другой стороны (см. (11.1.2)), существенно изоморфно пространству антидвойственное к которому равно изоморфному по теореме Пуанкаре-Биркгофа-Витта.

Заметим, что каноническое отображение где неприводимое унитарное представление с младшим весом антидвойственно к отображению ограничения

Любое пространство из имеет формальный характер. Модуль Верма изоморфен как представление группы IX где С а, обозначает С с действием с помощью характера Поэтому справедливо (ср. предложение.

Предложение (14.4.3). Характер модуля Верма равен

где произведение берется по всем положительным корням группы с соответствующими кратностями.

Наш следующий шаг — связать характеры неприводимых представлений с характерами модулей Верма. До конца этого раздела мы будем предполагать, что алгебра Ли проста. Это предположение делается только для упрощения изложения:

чтобы охватить общий случай, когда равна произведению простых алгебр, надо заменить У на класс модулей для универсального центрального расширения алгебры с помощью которые допускают согласованное действие являются модулями конечного типа с положительной энергией); далее можно пользоваться скалярным произведением (9.4.11) на и последующее обсуждение останется справедливым без каких-либо изменений.

Предложение (14.4.4). Характер неприводимого представления равен счетной сумме вида где пробегает такие веса, что

В этом предложении означает, что сумма положительных корней группы Определение это формула (14.3.2). Сумма для характера формально сходится, ибо для любого уровня энергии есть лишь конечное число весов с энергией, не превосходящей

Доказательство (14.4.4). Пусть пространство V принадлежит классу , и пусть минимальная энергия, которая встречается в Выберем весовые векторы которые являются базисом пространства векторов младшего веса относительно действия на Пусть имеет вес относительно и вес относительно Тогда имеется отображение переводящее образующую модуля Верма в а потому возникает точная последовательность в

Среднее отображение индуцирует изоморфизм на уровне энергии действительно, неприводимое представление труппы G с младшим весом Поэтому минимальная энергия, встречающаяся в ядре V и коядре больше Так как характеры аддитивны по отношению к точным последовательностям, мы получаем, что

Применяя это рассуждение к а затем к и так далее по индукции мы, очевидно, получим желаемое выражение для характера. Из (14.4.2) следует, что если все веса в не меньше чем X, то все веса в также не меньше поэтому в разложении встречаются только с

Чтобы доказать утверждение мы воспользуемся оператором Казимира из разд. 9.4. Из (9.4.10) мы знаем, что

действует на как умножение на скаляр Из (14.4.5) следует, что если действует умножением на скаляр на V, то он действует умножением на тот же скаляр на Но на он действует умножением на скаляр с; поэтому для всех встречающихся

Теперь очень просто завершить доказательство формулы для характеров. Нам понадобятся две леммы.

Лемма (14.4.6). Для любого веса X и любого справедлива формула

где

Лемма (14.4.7). Если X — антидоминантный вес, вес удовлетворяющий трем условиям

то

Закончим доказательство, предполагая эти леммы справедливыми. Пусть тогда по лемме (14.4.6). Но характер должен быть инвариантен относительно поэтому для всех так как формальные ряды очевидно, линейно независимы.

Предположим теперь, что Выберем так, чтобы был антидоминантным. Пусть т. е. Тогда поэтому Из леммы (14.4.7) получаем, что Но мы знаем, что поэтому мы доказали формулу для характера в виде

Доказательство (14.4.6). Это просто комбинация предложения (14.4.3), формулы (14.2.3) и предложения (14.3.3).

Доказательство (14.4.7). Запишем

Далее, сумма положительных корней, а не только антидоминантный, но и строго антидоминантный вес в том смысле, что для любого положительного корня а, ибо для любого простого корня Поэтому единственная возможность состоит в том, что

Стоит заметить, что только в этом месте мы использовали предположение о полупростоте оно излишне, если уровень веса. больше 0.