13.3. Представления уровня 1 группы LG для группы G с простыми связями

В этом разделе мы покажем, как можно использовать блипы для явной конструкции наиболее важных неприводимых представлений группы петель для группы G с простыми связями. Пусть максимальный тор группы Мы начнем с точного унитарного представления для подгруппы в в гильбертовом пространстве где базисное центральное расширение группы описанное в гл. 4. Мы используем блипы, чтобы определить действие комплексифицированной алгебры Ли группы на продолжая заданное действие алгебры Ли группы Наконец, представление после экспоненцирования дает представление группы

Если неприводимое представление группы то мы, очевидно, получаем неприводимое представление группы Точные неприводимые представления группы были классифицированы в разд. 9.5, и мы уже знаем, что они взаимно однозначно соответствуют представлениям уровня 1.

Чтобы задать действие на мы должны связать с каждым вектором некоторый (неограниченный) оператор такой, что и

где — коцикл (4.2.2), определяющий расширение Если базис то мы можем написать где гладкие комплекснозначные функции на окружности, и

где Тогда — это операторнозначное распределение, которое мы символически запишем в виде

Соотношение (13.3.1) превращается в

где структурные константы для (т. е.

Мы хотим, иными словами, сопоставить «оператор поля» каждой точке 8 на окружности и каждому базисному вектору ей из Заданное проективное представление группы операторы для всех а потому нам осталось построить только операторы для элементов из Естественный выбор базиса в этом пространстве — это набор корневых векторов во., которые соответствуют корням а группы G (см. разд. 2.4). Для любого корня а имеется кокорень, который можно интерпретировать как гомоморфизм Используя его, мы можем определить как , представляющий элемент из равный единице везде, кроме инфинитезимальной окрестности , где он проходит петлю бесконечной скоростью.

Основное свойство группы G с простыми связями — это существование инвариантного скалярного произведения такого, что

(i) , если принадлежат решетке

(iii) , если и только если X — кокорень. (Здесь кокорень рассматривается как элемент из Поэтому он обозначается Гомоморфизм равен

Коцикл на соответствующий базисному центральному расширению задается, как мы видели в разд. 4.8, формулой

где билинейная форма, а

Здесь обозначают средние значения на Мы хотели бы, однако, подчеркнуть, что довольно сложные вычисления в разд. 4.8, которыми был получен коцикл (13.3.3), не существенны для описываемой конструкции. Если просто угадать формулу (13.3.3), то можно убедиться, что она приводит к проективному представлению группы с желаемым коциклом на алгебре Ли; отсюда следует, что все угадано правильно. Этот коцикл был действительно открыт таким способом в [49] и [131], и, что удивительно, элегантное описание (2.5.1) алгебры Ли группы с простыми связями было открыто в то же время. Поэтому разд. 4.8 является только дополнительной проверкой.

Операция поворота на угол согласована (ср. (4.8.5)) с оператором представляющим а именно

Для любого кокорня расширение подгруппы группы индуцированное коциклом определяется формулой

По существу этот коцикл в два раза больше коцикла, который рассматривался ранее в этой главе. Новое расширение обладает тем свойством, что представители петель с числами вращения и непересекающимися носителями коммутируют, а не антикоммутируют.

Блип типа а в точке определяется как предел где - некоторая последовательность аппроксимирующих элементов из как в разд. 13.1. Степень равна —1, а не —1/2, так как удвоился коцикл. Это означает, что относительно диффеоморфизмов окружности ведут себя как плотности, а не как полуплотности; поэтому оператор

естественно определен, если функция на как мы и надеялись. Множитель включается в определение чтобы компенсировать неинвариантность коцикла (ср. (13.3.5))

относительно поворотов, т. е. чтобы выполнялось соотношение

Существование такого блипа доказывается точно так же, как и в разд. 13.1, и не требует дальнейшего обсуждения. Мы должны, однако, проверить соотношения вида (13.3.2), необходимые для доказательства того, что получилось представление группы Вот эти соотношения (см. разд. 2.5):

Предложение (13.3.8). Справедливы формулы

Замечание. В правой части (ii) мы отождествили корень а элементом из используя квадратичную форму

Доказательство. Доказательство совпадает с доказательством (13.1.16) и не требует дальнейшего обсуждения. Мы будем доказывать одновременно. Необходимые рассуждения параллельны рассуждениям из предложения (13.1.13), поэтому мы будем кратки. Аппроксимируем блипы в точках с помощью и ее, где

и где Напишем где мы снова рассматриваем как элементы из Теперь вычисляем

где

Получаем

Теперь разберем три случая. Если то равно ряду

который стремится к при Оператор в (13.3.9) стремится к пределу который является гладкой функцией по и Если мы используем соотношение

и заметим, что а

то получим (13.3.8) (ii).

Если а не нуль и не корень, то и поэтому что доказывает

Наконец, если а корень, то . В этом случае

что стремится к при доказывая. (13.3.8) (iv).

Мы построили действие алгебры Ли на (Это представление полиномиальных петель, ибо конструкция блипов допускает сглаживание только тригонометрическими многочленами.) Мы должны продолжить это представление на все и доказать, что экспоненциированием получается представление группы Оба этих шага можно сделать, используя одно простое наблюдение. Очевидно, что представление на унитарно. Если ограничить его на постоянные петли то оно, конечно, экспоненциируется до представления группы как и любое представление алгебры Ли компактной группы. (Фактически нам достаточно пользоваться этим лишь для конечномерных представлений, так как если неприводимое представление группы то каждое из подпространств конечномерно и они инвариантны относительно действия Заметим теперь, что в

элемент можно перевести в оператор присоединенным действием группы Последний оператор можно определить как неограниченный оператор для любой гладкой функции так как мы начинали с представления группы гладких петель Отсюда следует, что а значит, и определены для любой гладкой функции что дает нам представление

Кроме того, мы знаем, что можно экспоненцировать. Отсюда следует, что можно экспоненцировать также Однопараметрические подгруппы, получаемые таким образом, порождают Нам необходимо еще знать, что экспоненцированные операторы удовлетворяют всем соотношениям, которые имеются в Это так, потому что по построению эти операторы должным образом коммутируют с операторами представления Другими словами, если

в , то

коммутируют со всеми операторами, представляющими Поэтому такое произведение действует как скаляр на каждой неприводимой компоненте Итак, получается проективное представление группы на Проективный множитель, однако, тривиален на алгебре Ли, а потому тривиален глобально. Поэтому на а значит (так как произвольная неприводимая компонента), и на всем

Мы должны также описать поведение блипов и сглаженных операторов относительно Повторяя рассуждения из конца разд. 13.1, мы можем определить операторы

для любого предельной формулой, подобной (13.1.22).

При этом определении естественность относительно становится ясной. Но как бы ни определялся оператор он удовлетворяет соотношению

для операторов, представляющих (ср. (13.1.16) и и это свойство однозначно его характеризует.

Стоит отметить, что «бозонные» блипы приводят к неограниченным операторам, даже если они сглаживаются гладкими функциями. Сглаженные «фермионные» операторы из разд. 13.1 ограничены. Мы еще вернемся к этому в разд. 13.5.