7.8. Пространство Gr(H) как кэлерово многообразие и симплектическое многообразие

Поскольку группа транзитивно действует на на пространстве можно определить эрмитову метрику, задавая на его касательном пространстве в отмеченной точке эрмитову форму, инвариантную относительно действия подгруппы изотропии Касательное пространство в точке есть пространство операторов Гильберта-Шмидта (на котором группа изотропии действует взятием композиции слева и справа), а единственное с точностью до скалярного множителя инвариантное скалярное произведение на нем — это

Это скалярное произведение определяет на кэлерову структуру. В самом деле, его мнимая часть

есть замкнутая 2-форма, с которой мы уже сталкивались в предложении (6.6.5) как с формой на алгебре Ли задающей центральное расширение (напомним, что инвариантная дифференциальная форма на однородном пространстве то же самое, что и кососимметричная форма на инвариантная относительно присоединенного действия группы и удовлетворяющая дополнительному условию, когда или лежит в Чтобы убедиться в том, что форма (7.8.1) совпадает с формой из предложения (6.6.5), мы отобразим в посредством соответствия

В конце последнего раздела (см. замечание (ii) после теоремы мы указывали, что форма представляет класс Чженя линейного расслоения Det на Эквивалентное утверждение состоит в том, что кэлерова структура на индуцирована стандартной структурой на проективном пространстве с помощью плюккерова вложения.

На односвязном симплектическом многообразии X (даже если оно бесконечномерно) всякое векторное поле сохраняющее -форму , происходит из так называемого гамильтониана в том смысле, что градиент есть -форма на На векторное поле, определяемое произвольным элементом алгебры Ли сохраняет форму и мы можем спросить о соответствующей функции.

Предложение (7.8.2). Гамильтониан определяющий поток на соответствующий элементу задается формулой

Здесь операторы с квадратом 1, задающие разложения Мы оставляем читателю проверку того, что оператор обязательно имеет след.

Доказательство. Градиент функции в точке вдоль касательного вектора, соответствующего элементу равен

Предположим, что где Тогда а значение инвариантной формы на касательных векторах в точке определяемых элементами есть

(здесь (7.8.3) получается из (6.6.5) с помощью наблюдения, что

Предложение (7.8.2) нельзя прямо применить к действию группы Т на поворотами, так как мы видели в разд. 7.6, что это действие гладко лишь на подмногообразии Это соответствует тому факту, что инфинитезимальная образующая есть неограниченный оператор в и не принадлежит алгебре Ли Тем не менее предложение (7.8.2) справедливо для потока группы поворотов на Будем называть соответствующий гамильтониан энергией Таким образом,

Критические точки функции суть стационарные точки действия поворотов, т. е. точки для Заметим, что

где (см. (7.7.5)). Более общим образом, справедливо

Предложение (7.8.5).

где плюккеровы координаты точки нормализованные так, что соответствующий единичный вектор в

Таким образом, функция принимает только положительные значения.

На языке квантовой механики можно рассматривать как пространство состояний классической системы, а как соответствующее пространство квантовых состояний. Тогда представляет квантовое состояние, соответствующее а

предложение (7.8.5) утверждает, что классическая энергия есть среднее значение квантового оператора энергии в состоянии Этот результат вытекает из того факта, что обладает кэлеровой структурой, индуцированной с В самом деле, если Т-произвольный кососопряженный оператор на 36, то гамильтониан, соответствующий индуцированному им потоку на есть

Довольно легко показать, что разложение Морса пространства на возрастающие и убывающие устойчивые многообразия стационарных точек градиентного потока функции это в точности стратификация и клеточное разбиение, найденные в разд. 7.3 и 7.4. Мы не будем дальше продолжать обсуждение этого вопроса — см., однако, разд. 8.9.