12.6. Аналогия: экстраспециальная 2-группа

В гл. 10 мы построили изоморфизм между внешней алгеброй и суммой симметрических алгебр, реализуя единственное неприводимое проективное представление абелевой группы (с ее базисным коциклом) двумя способами: во-первых, как спинорное представление, во-вторых, как, грубо говоря, пространство голоморфных функций на самой группе. Мы опишем теперь конечномерный аналог этого изоморфизма.

В группе есть максимальная абелева подгруппа А порядка состоящая из диагональных матриц с элементами ±1. Двулистное накрытие ограничивается до центрального расширения А группы А двумя элементами. Это расширение иногда называется экстраспециальной -группой ([65, разд. 5.3], [123]).

Предложение (12.6.1). Ограничение спинорного представления на А неприводимо.

Доказательство. Группу А можно отождествить с мультипликативной подгруппой алгебры Клиффорда которая порождена элементами для (Векторы образуют стандартный базис в Поэтому линейные комбинации элементов А порождают и по предложению (12.1.5) полное кольцо эндоморфизмов Из этого следует неприводимость представления А.

Замечание. Предложение (12.6.1) дает нам, конечно, новое доказательство неприводимости спинорного представления.

Следствие (12.6.2). Представление в это единственное неприводимое представление группы А, за исключением одномерных представлений группы А.

Доказательство. Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений конечной группы равна порядку этой группы.

Теперь рассмотрим спинорное представление как пространство голоморфных сечений линейного расслоения на Пусть X — орбита отмеченной точки в относительно А. Она состоит из точек, и ее можно отождествить с где Ограничение на X, очевидно, тривиально, и пространство сечений можно отождествить с пространством комплекснозначных функций на Но расслоение нетривиально как однородное расслоение относительно действия можно более точно определить как представление группы А, индуцированное любым одномерным представлением К группы В, таким, что [С нетривиально. (Здесь С — ядро отображения подгруппа в А, такая, что

Чтобы лучше понять мы должны уточнить структуру группы А. Запишем группу А аддитивно: это векторное пространство над полем из двух элементов. Расширение

полностью описывается заданием отображения такого, что где а — некоторый подъем а в К. Фактически является квадратичной формой, и ассоциированная билинейная форма задается формулой

которая характеризуется соотношением

и, как легко видеть, невырожденна. (Это эквивалентно утверждению о том, что центр А совпадает с С, что очевидно, если рассматривать А как подмножество в алгебре Клиффорда.) Положим теперь ; это максимальное изотропное подпространство в А относительно формы оно изотропно, так как содержится в торе который накрывается тором в Поэтому мы можем написать где В — другое изотропное подпространство в А. Как проективное представление группы А пространство можно рассматривать как пространство комплекснозначных функций на В, на котором элементы из В действуют сдвигами, а элементы умножением на функцию что в точности аналогично ситуации из разд. 9.5. Действительно, если -группа Гейзенберга, ассоциированная с вещественным векторным пространством V с кососимметричной билинейной формой то стандартное представление группы V можно реализовать либо в пространстве голоморфных функций на где это V с фиксированной комплексной структурой, или, эквивалентно, на пространстве функций на где разложение на двойственные изотропные подпространства и действует на сдвигами, умножением