2.6. Группа Вейля и камеры Вейля: положительные корни

Группой Вейля компактной группы Ли G с максимальным тором Т называется группа автоморфизмов тора получаемых с помощью сопряжения элементами группы Таким образом, где нормализатор подгруппы Для унитарной группы группа Вейля это симметрическая группа действующая на диагональные матрицы перестановками элементов.

Группа Вейля является конечной группой изометрий пространства она сохраняет решетку Т и множество корней в Для каждого корня а в ней содержится элемент порядка два, представляемый элементом Действие элемента на дается формулой

это отражение относительно гиперплоскости имеющей уравнение Отражения порождают группу

Элементы пространства не лежащие ни на одной из корневых гиперплоскостей На, называются регулярными. Они распадаются на несколько связных компонент, называемых камерами Вейля-, камеры просто транзитивно переставляются группой Обычно выбирают одну из камер С и называют ее положительной камерой Вейля. Тогда корни разбиваются на

положительные и отрицательные в соответствии с тем, принимают они положительные или отрицательные значения на положительный: корень а называется простым, если гиперплоскость На является стенкой камеры С. Для полупростой группы ранга I имеется: I простых корней причем 31 элементов порождают алгебру Ли

В случае группы в качестве положительных корней можно взять а в качестве простых корней — все