14.3. Формула для характера

В этом разделе будем предполагать, что группа G полупроста.

Мы хотели бы вычислить характер неприводимого представления на пространстве голоморфных сечений линейного расслоения на Комплексная структура на ясна из представления в виде (см. разд. 8.7). Формально все в точности повторяет случай? компактных групп, рассмотренный в предыдущем разделе.

Неподвижные точки действия тора на можно отождествить с элементами аффинной группы Вейля а касательное пространство к в отмеченной точке — с на котором действует отрицательными аффинными корнями. Мы напишем формулу, совпадающую с (14.2.4).

Теорема (14.3.1). (Формула Каца для характера.)

Здесь сумма всех положительных корней а группы для которых отрицателен, а произведение берется по всем положительным корням, взятым с определенными кратностями. (В конечномерном случае каждый корень имеет кратность единица, а для группы петель действует на все одним и тем же характером

В написанном виде формула для характера применима к любой полупростой группе (В действительности она справедлива для любой компактной группы, если уровень веса X строго положителен.) Эта формула принимает несколько более привычный вид для случая простой односвязной группы G и ее универсального центрального расширения . В этом случае мы, конечно, не можем просуммировать все положительные корни группы но можем определить

где - это полусумма положительных корней группы а с — значение оператора Казимира для в присоединенном представлении. (Целое число с равно где старший корень группы а скалярное произведение нормализовано так, что Если группа с простыми связями, то с — число Коксетера ([20, гл. VI, § 1, п°11]) для G.)

Предложение (14.3.3). Для любого

где сумма положительных корней а, таких, что корень а отрицателен.

Доказательство. Так как порождается отражениями относительно простых корней а (см. предложение (5.1.4)), достаточно проверить нашу формулу для Но тогда Определение однако, подобрано

именно так, чтобы равнялось единице для любого простого аффинного корня а.

Теперь мы можем переписать формулу для характера.

Предложение (14.3.4). Если односвязная простая группа, то

Пример. Если с максимальным тором мы можем отождествить так, что соответствует

Тогда решетка весов группы это а корни — элементы при или 0. Положительным корням соответствует или элемент (0,2,0). Получаем Если совокупность сдвигов в записать как то их действие на веса имеет вид

(см. (9.3.3)). Оставшиеся элементы где нетривиальный элемент группы Вейля для действуют следующим образом:

Применяя формулу (14.3.4) для характеров базисного, представления и другого представления уровня 1 с младшими весами. соответственно, получаем

и

где

а

т. е. это характер -мерного неприводимого представления; группы при

В предыдущих главах мы нашли две различные явные конструкции базисного представления группы . В разд. 13.3 мы реализовали его в пространстве неприводимого представления группы Это представление в свою очередь было индуцировано из представления Гейзенберга связной компоненты единицы

где V — векторное пространство отображений с нулевым средним. Фактически

где идентичны как представления группы V, но действует как на Из этого описания мы получаем

Сравнение с (14.3.5) дает абсолютно не очевидное тождество, которое при превращается в следующую формулу:

В другой нашей конструкции из разд. 10.6 базисное представление группы реализуется во внешней алгебре. Его характер равен

где элемент тора из записан как

Формула Каца для характера в форме теоремы (14.3.1) применима к базисному представлению группы которое соответствует Аффинная группа Вейля равна Если а — положительный корень для то преобразует аффинные корни следующим образом (см.

Далее, и

Собирая все это вместе, получаем следующую формулу для характера:

где

и

И снова тот факт, что формулы (14.3.8) и (14.3.9) согласованы, совершенно не очевиден. Теперь у нас имеются три совершенно» разные формулы для характера.

Общий вид характера

Чтобы лучше понять, что выражает формула для характера, заметим, что любой элемент аффинной группы Вейля можно единственным образом представить в виде где принадлежит конечной группе Вейля для решетке У. В формуле из теоремы (14.3.1) мы можем суммировать по в два приема. Сначала просуммируем по с помощью формулы Вейля (14.2.4) для характера группы Если то

где

(здесь и произведение берется по всем корням а. группы задается формулой Вейля (14.2.4), хотя не обязательно антидоминантен, а обозначает сумму по всем вида где вложено в с помощью стандартного скалярного произведения.

Заметим, что обе части равенства (14.3.10) являются степенными рядами от с коэффициентами — функциями классов на

Выражение (14.3.11) можно записать более понятно:

где обозначает присоединенное действие элемента

Для любого мы имеем где Для любого можно найти такое что доминантный вес, и мы можем переписать (14.3.10) следующим образом.

Предложение (14.3.13). Если простая односвязная группа, то

где сумма берется по неприводимым представлениям V группы задано формулой (14.3.12), значение оператора Казимира на — целое число, уровень веса

Удивительное свойство формулы из (14.3.13) состоит в том, что степень 2 при каждом конечномерном характере не зависит от X (только от его уровня) и пропорциональна значению оператора Казимира на Было бы весьма интересно получить объяснение этого факта.

Вернемся теперь к конструкции представлений уровня 1 для групп с простыми связями из разд. 13.3. Как мы объясняли ранее, в случае эта конструкция непосредственно приводит к формуле для характера. Для представления с младшим весом она дает

где

обозначает функцию разбиений. Эта формула абсолютно не похожа на формулу Каца и практически оказывается наиболее удобной формулой для характера. Приравнивая (14.3.14) и (14.3.13) при получаем замечательное тождество

которое обобщает (14.3.7) (ср. [83, (3.38)]).

Макдональд [131, (6.8)] показал, что (14.3.14) можно переписать в виде суммы по неприводимым представлениям G:

где V пробегает представления с младшими весами, которые конгруэнтны со относительно действия и

где X — младший вес для

Тождество Макдональда

Если мы применим формулу для характера к тривиальному представлению, т. е. , то получим тождество Макдональда [107]

Для простой односвязной группы G мы снова можем сделать эту формулу более явной, записывая как выше, и суммируя по Получается

Предложение (14.3.18).

где задано формулой (14.3.12), рассматривается как вес с помощью стандартного скалярного произведения на и

Как мы уже напоминали в разд. 10.5, для тождество Макдональда превращается в тройное тождество Якоби. В разд. 10.5, однако, оно возникало при сравнении представлений группы которые не продолжались на

Стоит отметить два несколько различных способа записать тождество Макдональда. Форма Киллинга на раз больше стандартного скалярного произведения которое мы используем, и «странная формула» Фрейденталя (ср. [51, р. 243]) дает

и мы можем переписать (14.3.18) в виде

где подрешетка в которая является образом Т относительно отображения определенного с помощью половины формы Киллинга. При в левой части (14.3.19) получается где

является -функцией Дедекинда, а также модулярной формой веса 1/2 (ср. Серр [135, гл. 8]).

Второй способ принадлежит Костанту [93], который заметил, что (14.3.18) можно переписать в виде

где сумма берется по неприводимым представлениям V группы некоторый элемент из определенного класса сопряженности. (Фактически это класс сопряженности где соответствует относительно формы Киллинга.) Эта формула очень интересна из-за связи с «ядром теплопроводности» на группе что мы сейчас покажем.

Уравнение теплопроводности на G имеет вид

где вещественнозначная функция на а А, - оператор Казимира на который отождествляется с оператором Лапласа на Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности получается сверткой с ядром теплопроводности Н:

То есть решение уравнения теплопроводности, где начальными данными является дельта-функция в единице. Так как гильбертово пространство распадается следующим образом под действием

где V пробегает неприводимые представления группы легко видеть, что

Поэтому (14.3.20) дает

Более общим образом, Феган [42] отметил, что (14.3.20) дает равенство

где решение уравнения теплопроводности с дельта-функцией, сосредоточенной на классе сопряженности в качестве начальных данных. Связь уравнения теплопроводности на G с представлениями группы остается тем не менее таинственной (ср., однако, с работой Френкеля [47]).