4.6. Групповые расширения в случае полупростой, но не односвязной группы G

Полупростую группу G можно записать в виде где односвязная накрывающая группа группы конечная подгруппа в центре группы

Как мы знаем, целочисленная билинейная форма порождает единственное центральное расширение группы Поскольку G канонически отождествляется с подгруппой в мы можем считать подгруппой в . В действительности лежит в центре группы поскольку ее присоединенное действие на тривиально (это вытекает из предложения (4.3.2)). Таким образом, получаем расширение

где есть компонента единицы в Но расширение (4.6.1), как правило, не является ограничением расширения всей группы Чтобы понять это, заметим, что форма над следующим образом индуцирует спаривание:

Пусть максимальный тор группы Для данных выберем в алгебре Ли группы Т так, чтобы

Положим по определению

Это спаривание не зависит от сделанных выборов.

Лемма (4.6.3). Если спаривание с нетривиально, то расширение (4.6.1) не является ограничением никакого расширения группы

Доказательство. Рассмотрим автоморфизм алгебры Ли индуцируемый сопряжением с помощью элемента X группы не лежащего в компоненте единицы. Мы можем единственным образом поднять до автоморфизма алгебры Ли простой

вычисление (ср. (4.3.2)) показывает, что

Применим эту формулу, когда а X есть петля для некоторого такого, что Мы получим

Поскольку экспоненциальное отображение группы переводит в 1, мы видим, что может индуцировать автоморфизм группы лишь если Это доказывает (4.6.3).

В обратную сторону, однако, справедлива

Лемма (4.6.5). Действие группы на сопряжением однозначно поднимается до действия на и при этом действие группы на центре группы задается спариванием (4.6.2).

Доказательство. Сначала заметим, что подъем, если он существует, должен быть единственным. В самом деле, отождествляется с подгруппой в поскольку является совершенной группой (см. (3.4.1)) и нет нетривиальных гомоморфизмов

Расширение определяется по -форме о на То же вычисление, которое дало нам (4.6.4), показывает, что если обозначает сопряжение с помощью то

где — левоинвариантная -форма, задаваемая формулой

Будем представлять себе элементы группы тройками как в разд. 4.4. Тогда автоморфизм накрывается автоморфизмом

где обозначает интеграл формы по пути

Теперь мы можем описать класс расширений группы для полупростых групп

Предложение (4.6.9). Для каждого целочисленного скалярного произведения существует группа компонентой единицы которой является а группой компонент — группа

Она является расширением группы с помощью причем действие группы компонент сопряжением на задается с помощью (4.6.2).

Расширение не определяется однозначно формой но оно единственно с точностью до добавления произвольного расширения группы с помощью

Замечание. Расширение группы с помощью очевидно, задает расширение группы с помощью и его можно добавить (в обычном смысле сложения групповых расширений) к не меняя компоненты единицы.

Доказательство. Выберем максимальный тор и положим Таким образом, есть подгруппа в Часть подгруппы содержащаяся в компоненте единицы группы может быть отождествлена с подгруппой в Пусть расширение группы с помощью индуцируемое расширением Предположим, что продолжается до расширения группы Тогда мы можем образовать полупрямое произведение где действует на с помощью проекции на действует на в силу леммы (4.6.5). Но антидиагональное отображение вкладывает как нормальную подгруппу, и мы можем определить как факторгруппу

Возвращаясь к существованию заметим, что расширение свободной абелевой группы с помощью Т полностью определяется коммутаторным отображением являющимся кососимметричным биаддитивным отображением Оно может быть поднято до кососимметричного биаддитивного отображения Обратно, каждое такое отображение определяет расширение группы с помощью Т посредством коцикла

Таким образом, может быть получено произвольным продолжением кососимметричного отображения, определяющего неопределенность состоит в выборе произвольного расширения группы

Замечание. Расширение наиболее привлекательно, когда группа с простыми связями, основное скалярное произведение. Тогда спаривание с из (4.6.2) невырожденно, а центр группы есть в точности Индуцированное расширение группы в этом случае мы вычислим в разд. 4.8.