9.2. Условие положительности энергии

Сейчас мы определим класс представлений групп петель который будем изучать в дальнейшем. Прежде всего, эти представления окажутся симметричными относительно жестких поворотов окружности, т. е. в обозначениях предыдущего раздела если некоторый поворот. Мы наложим более сильное условие: будем считать, что группа Т поворотов действует на операторами согласованными с действием группы: в следующем смысле:

где действие элемента на обозначает элемент у, повернутый на угол т. е. .

Фактически нам необходимо изучать проективные представления группы т. е. такие представления, что

для или, точнее, представления центральных расширений группы с помощью Как мы видели в гл. 4, действие Т на поднимается (по существу единственным способом) До действия на Свойство (9.2.1) наилучшим образом выражается словами: является представлением полупрямого произведения Мы часто будем сталкиваться с ним, называя его, однако, просто симметричным представлением группы

Действие окружности Т на топологическом векторном пространстве грубо говоря, эквивалентно - градуировке Действительно, если это замкнутое подпространство в на котором действует умножением на то алгебраическая лрямая сумма

образует плотное подпространство в которое мы будем называть подпространством векторов конечной энергии. Мы будем говорить, что действие группы Т на обладает положительной энергией, если при или, эквивалентно, если представим в виде где спектр оператора А положителен. Соответственно будем говорить, что симметричное представление группы обладает положительной энергией, если положительной энергией обладает ассоциированное действие труппы (Возможно, было бы лучше понимать под «положительностью энергии» условие при для некоторого это различие несущественно, ибо всегда можно умножить действие группы Т на на характер этой группы.)

Наиболее очевидные симметричные представления групп петель, например, естественное действие группы на гильбертовом пространстве не являются представлениями с положительной энергией. С другой стороны, кажется, не известно явной конструкции неприводимых симметричных представлений группы петель, которые не обладали бы положительной или отрицательной энергией. (Комплексно сопряженное к представлению с положительной энергией является представлением с отрицательной энергией.)

Условие положительности энергии подразумевает каноническую параметризацию окружности. Если диффеоморфизм

окружности и представление с положительной энергией, то естественно спросить, обладает ли положительной энергией. Оказывается, это верно, хотя и не вполне очевидно. Действительно, как мы увидим далее (разд. 13.4), действие Т на представлении с положительной энергией всегда канонически продолжается до проективного действия группы состоящей из диффеоморфизмов окружности, сохраняющих ориентацию. Это представление продолжается даже до действия связной компоненты единицы группы автоморфизмов группы что является сильным вариантом того факта, что представления образуют дискретное множество.

Другое технически полезное замечание того же рода, которое весьма просто доказать, состоит в следующем. Выберем гомоморфизм являющийся конечным накрытием, где тор, а остальные простые группы. Тогда является конечным накрытием подгруппы конечного индекса в и на имеется действие согласованное с произведением действий на сомножителях, которое поворачивает каждый сомножитель по отдельности. Мы увидим (см. замечание (11.1.5) (i)), что действует на любом представлении группы с положительной энергией и что, следовательно, градуированное векторное пространство фактически допускает более тонкую мультиградуировку с помощью

Представление группы петель с положительной энергией по определению является представлением группы Однако справедливо

Предложение (9.2.3). Неприводимое унитарное представление группы с положительной энергией является неприводимым представлением группы

Замечание. Предположение об унитарности фактически излишне, так как в дальнейшем мы увидим, что все представления с положительной энергией по существу унитарны.

Доказательство. Пусть неприводимое унитарное представление группы Если оно приводимо относительно то мы можем найти ограниченный самосопряженный оператор коммутирующий с действием и не коммутирующий с действием

Определим полагая

Оператор является ограниченным и коммутирует с действием кроме того, Он отображает для любого Так как Т не коммутирует с действием то найдется по крайней мере для одного Пусть минимальное значение энергии, которое встречается в т. е. наименьшее для которого Тогда должен обращаться в нуль на Но порождает относительно действия ибо неприводимо относительно и подпространство является Т-инвариантным. Поэтому обращается в нуль на всем противоречие.

Хотя действие Т на представлении с положительной энергией предполагается заданным, из леммы Шура следует, что для неприводимого представления группы действие Т определяется действием с точностью до умножения на характер группы Можно описать представления с положительной энергией в терминах действия следующим образом.

Предложение (9.2.4). Представление группы является неприводимым представлением с положительной энергией, если и только если оно порождено гладким циклическим вектором который является собственным для алгебры Ли

Здесь обозначает подалгебру в состоящую из всех элементов вида для где подалгебра Бореля в соответствующая отрицательным корням.

Вектор из (9.2.4) обычно называется вектором младшего веса. Предложение (9.2.4) будет доказано в гл. 11 (ср. (11.2.4)), а сейчас мы приведем его переформулировку:

Предложение (9.2.4). Представление группы неприводимо и обладает положительной энергией, если и только если оно порождается Т-инвариантной прямой, орбита которой под действием в проективном пространстве определяет голоморфное отображение

Имеется интересная связь между понятием энергии в квантовомеханическом смысле, которое использовалось в этом разделе, т. е. как собственного значения инфинитезимального поворота и классической энергией петли у, определенной (ср. (8.9.2)) формулой

Предложение (9.2.5). Пусть — неприводимое унитарное представление группы с положительной энергией уровня Пусть — вектор младшего веса и единичной длины. Положим для Тогда

Другими словами, среднее значение оператора в состоянии равно

Определение термина «уровень» можно найти в разд. 9.3. Скалярное произведение на использованное в определении совпадает со скалярным произведением, которое использовалось в определении центрального расширения Заметим, что зависит лишь от образа петли у в

Предложение - это просто переформулировка предложения (4.9.4). Его частный случай — предложение (8.9.11).

Варианты условия положительности энергии

(i) Замена окружности прямой (ср. разд. 6.9)

Группу гладких отображений с компактным носителем можно рассматривать как подгруппу в отождествляя с помощью стереографической проекции (т. е. ). Естественное определение положительной энергии для представления группы состоит в том, что наряду с действием рассматривается согласованное с ним действие группы сдвигов на причем где оператор с положительным спектром.

Предложение (9.2.6). Любое представление с положительной энергией группы ограничивается до представления с положительной энергией группы

Замечание. Нам не известно, верно ли, что всякое представление с положительной энергией группы возникает из представления с положительной энергией группы впрочем, нам не известно также ни одного контрпримера (ср. замечание в конце разд. 10.7).

Доказательство. Группа автоморфизмов вещественной проективной прямой, рассматриваемая как группа диффеоморфизмов окружности содержит как группу поворотов так и группу сдвигов Любое представление группы с положительной энергией согласовано с действием в частности, с действием (Этот результат только для

гораздо проще — см. замечание (11.1.5)(ii)). Однако все неприводимые представления группы с положительной энергией реализуются как ее действия на пространствах голоморфных дифференциалов различных степеней на верхней полуплоскости. Подгруппа сдвигов в очевидно, действует на этих пространствах «положительно». Чуть точнее, мы увидим, что любое представление с положительной энергией для является суммой неприводимых. Каждое неприводимое представление, в свою очередь, можно отождествить с подпространством пополнения симметрической алгебры с тем же действием Но сдвиги пространства R «положительно» действуют на .

(ii) Скрученные действия и скрученные группы петель

В разд. 8.6 мы видели, как иногда бывает полезно заменить естественное действие I на G поворотами «скрученным» действием полученным одновременным поворотом и сопряжением: для мы определим

где таково, что Если А принадлежит фундаментальной камере в что мы будем предполагать, то положительные и отрицателные собственные подпространства скрученного действия Т на это Понятие положительной энергии можно определить и относительно скрученного действия. Однако имеется

Предложение (9.2.7). Представление обладает положительной энергией относительно скрученного действия, если и только если оно является представлением с положительной энергией в обычном смысле.

Это будет доказано ниже.

Одно из применений предложения (9.2.7) связано со скрученными группами петель. Мы напомним (см. разд. 3.7), что если автоморфизм G конечного порядка то скрученная группа петель состоит из гладких отображений таких, что Очевидно, что группа действует на и это позволяет нам определить представления с положительной энергией. Мы не станем их сейчас изучать, но отметим, что для внутреннего автоморфизма для которого естественное действие Т на поворотами соответствует скрученному действию на Если

не внутренний автоморфизм, но становится внутренним в большей (связной) группе содержащей то, пользуясь предложением (9.2.7), мы получаем, что представление с положительной энергией для группы при ограничении дает представление с положительной энергией для

Нам интересен также один частный случай. Мы часто используем вложение в в качестве максимальной абелевой подгруппы (см. разд. 3.6 и 6.5), которое не согласовано с очевидным действием Т поворотами. Действие поворотами на соответствует действию поворотами на изоморфной группе где автоморфизм группы задаваемый циклической перестановкой сомножителей. Так как является внутренним для мы получаем, что представления с положительной энергией группы ограничиваются до представлений с положительной энергией группы

Доказательство (9.2.7). Теорема о полной приводимости для представлений с положительной энергией применима с тем же доказательством (см. разд. 11.2) к представлениям с положительной энергией в скрученном смысле. Поэтому достаточно рассмотреть неприводимые представления. А для таких представлений критерий (9.2.4) справедлив в обоих случаях.