10.1. Г как внешняя алгебра: фермнонное пространство Фока

В этом разделе мы объясним, каким образом Г можно отождествить с пополнением внешней алгебры Прежде чем делать это, отметим, что переход от к хорошо известен в квантовой теории поля как процесс «вторичного квантования». Если пространство решений релятивистского полевого уравнения и оно представлено в виде где состояния с положительной и отрицательной энергией, это пространство состояний ансамбля из неограниченного числа свободных фермионных частиц и античастиц, типа Заметим, что

Подпространство это состояния, в которых имеется частиц и античастиц, все с положительной энергией. Мы вернемся к этой картине в замечании (iv) после предложения 10.1.5.

Чтобы отождествить с внешней алгеброй, мы сначала напомним (см. разд. 2.9), что если V — конечномерное векторное пространство, то пространство голоморфных сечений расслоения Det на грассманиане -мерных подпространств в V — это в точности внешняя степень Собирая вместе все связные компоненты получаем, что пространство сечений расслоения Det на - это вся внешняя алгебра

Как и в гл. 7, отождествим гильбертово пространство с помощью ортонормированного базиса так,

чтобы оказалось порожденным множеством Имеется фильтрация

где Подпространства в расположенные между соответствуют подпространствам в следовательно, конечномерные грассманианы образуют возрастающую последовательность подпространств в Из разд. 7.2 мы знаем, что их объединение плотно. Детерминантное расслоение на дает детерминантное расслоение при ограничении на Ограничение сечений задает отображение

которое инъективно, так как объединение грассманианов плотно. Мы покажем, что правую часть (10.1.1) можно естественным образом отождествить с пополнением внешней алгебры не пространства а или, эквивалентно

Вложение переводит связную компоненту в и поэтому соответствующее отображение ограничения

понижает степень на 1. Фактически это производная ассоциированная с базисным элементом из Далее, и потому

Отождествляя с помощью отображения

которое переводит в мы получаем коммутативную диаграмму

где вертикальное отображение справа происходит из обратной системы (10.1.1), а вертикальное отображение слева индуцировано вложением о и проекцией Это

означает, что обратный предел, в сущности, можно отождествить с

Чтобы объяснить слова «в сущности», разложим все рассматриваемые векторные пространства относительно действия окружности Т на поворотами. Пусть V — комплексное векторное пространство с действием Напомним (см. разд. 9.2), что обозначает подпространство, на котором действует умножением на и что оно называется подпространством энергии Так, в встречаются энергии энергии Вертикальное отображение в (10.1.2) слева индуцирует изоморфизм подпространств энергии при Отсюда следует, что обратный предел равен

как топологическое векторное пространство. Заметим, что в этом разложении встречаются только положительные энергии и что подпространство с фиксированной энергией конечномерно.

Предложение (10.1.4). (i) .

(ii) отображение инъективно и обладает плотным образом.

(iii) для любого

Доказательство. Утверждение (i) уже доказано, следствие утверждения (iii). Для доказательства (iii) достаточно доказать, что отображение

сюръективно при любом Если мы рассмотрим как двойственное к то в нем возникает стандартный базис занумерованный подмножествами а из который является двойственным к базису здесь

для Такие подмножества а соответствуют подмножествам таким, что Для любого такого 5 имеется координата Плюккера которая была

определена в разд. 7.5. Это элемент из который отображается в

Наше рассуждение устанавливает также следующее

Предложение (10.1.5). Координаты Плюккера образуют алгебраический базис для плотного подпространства состоящего из элементов конечной энергии.

Замечания, (i) Заметим, что если некоторое индексное множество обычного типа, полученное из выбрасыванием некоторых положительных чисел и добавлением некоторых отрицательных чисел то соответствует базисному элементу

энергии

На языке квантовой теории поля — это состояние с частицами и античастицами; индексация множествами 5 соответствует описанию дираковскими «дырками», где существуют только античастицы, а вакуумное состояние — это состояние, где все состояния с отрицательной энергией заполнены античастицами.

(ii) Грассманиан это объединение связных компонент где множество подпространств виртуальной размерности Пространство сечений распадается в прямое произведение . В терминах сомножитель соответствует

т. е. «состояниям заряда . Можно характеризовать как часть на которой скаляры и действуют умножением на

Наше использование стандартного базиса и ассоциированного действия поворотов окружности может затемнить естественность связи между которая зависит только от выбора разложения Поэтому мы опишем ситуацию чисто алгебраически.

Пусть произвольное векторное пространство с фиксированным подпространством Пусть временно обозначает множество всех подпространств соизмеримых с

(см. разд. 7.1); пусть обозначает пространство алгебраических сечений расслоения, двойственного к детерминантному расслоению на грассманиане Пусть подпространства в такие, что

Если любое подпространство, расположенное между то слой детерминантного расслоения в канонически изоморфен

поэтому ограничение Det на равно

где детерминантное расслоение на а одномерное векторное пространство рассматривается как тривиальное линейное расслоение. Пространство сечений (10.1.7) равно

и все изоморфизмы в этой цепочке являются каноническими Поэтому канонически отображается в обратный предел внешних алгебр (10.1.8), которые образуют обратную систему при увеличении А и уменьшении В. Предел этой системы — пополнение векторного пространства в топологии, для которой окрестности нуля являются подпространствами конечной коразмерности. Стоит отметить, что в этом обсуждении мы нигде не пользовались скалярным произведением в

В квантовой теории поля очень важно, что (если гильбертово пространство) проективное пространство прямых в зависит от разложения только с точностью до соизмеримости — т. е. не меняется, если конечномерное подпространство переместится из Чтобы убедиться в этом, положим

где

и Тогда

и

Но канонически изоморфно с точностью до скалярного множителя: выбор некоторого элемента в одномерном пространстве задает изоморфизм для всех

Следствием этого является тот факт, что может быть построено из и (возможно, неограниченного) самосопряженного оператора Фредгольма даже если нуль является собственным значением оператора А конечной кратности. Мы выберем любое вещественное не лежащее в спектре оператора А, и определим как максимальное пространство, на котором положителен. Если непрерывно зависят от параметров из некоторого пространства то ассоциированные проективные пространства образуют расслоение на Интересный частный случай этой конструкции возникает, если пространство классов калибровочно эквивалентных связностей на векторном расслоении на нечетномерном многообразии ассоциированный со связностью оператор Дирака. Топологический тип расслоения на проективные пространства на базе полностью описывается классом когомологий в Этот класс равен нулю, если и только если расслоение произошло из расслоения на гильбертовы пространства на Этот класс называется неабелевой аномалией в квантовой теории поля. (Ср. [112], [41] и [157]. Соответствующая ситуация для четномерных многообразий описана в работе