6.3. Отображение ...

Вернемся к группам петель. Мы показали, что непрерывные петли в могут рассматриваться как подгруппа в Гладкие петли содержатся в Определяя ограниченную группу, мы будем всегда разлагать

в прямую сумму где

а

Иными словами, пространство по существу разложено на положительное и отрицательное собственные подпространства оператора инфинитезимального поворота

Предложение (6.3.1). Если петля непрерывно дифференцируема, то оператор умножения лежит в

Мы дадим два доказательства этого факта, поскольку оба они поучительны.

Первое доказательство. Запишем у как ряд Фурье

где все являются -матрицами. По отношению к очевидному ортонормированному базису пространства оператор представляется -матрицей элементы которой суть -матрицы. В действительности Мы должны показать, что и -компоненты оператора являются операторами Гильберта — Шмидта, т. е., иными словами, что

Это эквивалентно неравенству

которое, очевидно, вытекает из дифференцируемости у, поскольку квадрат -нормы производной у равен

Второе доказательство. Оператор определяющий разложение есть сингулярный интегральный оператор

ядро К которого задается формулой

Здесь обозначает интеграл в смысле главного значения, т. е.

(оператор есть аналог для случая окружности преобразования Гильберта функций на прямой (см. определяемого формулой

Отсюда следует, что коммутатор описывается ядром и является оператором Гильберта — Шмидта, если это ядро квадратично интегрируемо, т. е. если

Но это, очевидно, верно, если у непрерывно дифференцируема, так как в этом случае подынтегральное выражение есть непрерывная функция на

Разумеется, группа петель не является топологической подгруппой в : она имеет значительно более тонкую топологию, чем ее образ. В действительности топология на индуцированная с может быть описана следующим образом.

Если есть матричнозначная функция на то норма Гильберта — Шмидта коммутатора равна

Она известна как норма Соболева, соответствующая -дифференцируемым» функциям [144]. Обозначим через А банахову

алгебру измеримых матричнозначных функций у на таких, что

(здесь обозначает -норму). Группа будет обозначаться Она является банаховой группой Ли. Очевидно, что справедливо

Предложение (6.3.3). Группа является коммутантом оператора умножения

Группа интересна нам потому, что она является наибольшей группой петель, в которой применима большая часть теории этой книги: в частности, это наибольшая группа, для которой может быть построено ключевое центральное расширение и определено фундаментальное неприводимое представление. С другой стороны, ее элементы трудно описать явно. Она содержит все петли класса но не содержит и не содержится в группе непрерывных петель, а гладкие петли не плотны в ней. Проиллюстрируем эти факты рядом примеров.

Примеры

(i) Кусочно-гладкие петли лежат в тогда и только тогда, когда они непрерывны: типичным разрывным примером является

(ii) Функция

удовлетворяет условию неограничена вблизи (потому что см. [158, гл. 5, § 1] а значит, разрывна.

(iii) Функция

непрерывна, но

(iv) Функция где из примера лежит в хотя она и разрывна. Чтобы показать, что лежит в мы начнем с где

Функция а ограничена, непрерывна и лежит в банаховой алгебре А, так что лежит в Но допускает единственное разложение где есть граничное значение функции, голоморфной при Ниже мы увидим (из предложения (8.3.5)), что отсюда вытекает принадлежность