Глава 8. Основное однородное пространство

8.1. Введение: теоремы о разложении

Наиболее важные результаты, доказанные в этой главе — это три теоремы о разложении. Мы установим их для группы петель полной линейной группы однако сами теоремы остаются справедливыми и для групп при произвольной компактной группе Первая теорема касается подгруппы состоящей из петель у, которые являются граничными значениями голоморфных отображений

Теорема (8.1.1). Любая петля может быть единственным образом представлена в виде

где Более того, отображение умножения

является диффеоморфизмом.

Здесь обозначает петли из сохраняющие отмеченную точку, т. е. петли, для которых Предложение (8.1.1) будет доказано в разд. 8.3.

Во второй теореме, восходящей к Биркгофу [11], [12], участвует также подгруппа состоящая из петель которые являются граничными значениями голоморфных отображений

Теорема (8.1.2). Любая петля может быть представлена в виде

где это петля, которая является гомоморфизмом из в группу диагональных

матриц из имеет вид

Сомножитель определяется по у с точностью до сопряжения в т. е. с точностью до перестановки чисел Петли, для которых составляют плотное открытое множество в связной компоненте единицы группы а отображение умножения

где является диффеоморфизмом на это множество.

В следующем разделе мы опишем два важных приложения теоремы Биркгофа. Сама теорема будет доказана в разд. 8.4.

Буквальные переформулировки теорем (8.1.1) и (8.1.2) верны для групп вещественно-аналитических, рациональных и полиномиальных петель, однако не верны для непрерывных петель. Третья же теорема применима только к группе полиномиальных петель. Мы будем называть ее теоремой о разложении Брюа (ср. [79]).

Теорема (8.1.3). Любая полиномиальная петля может быть представлена в виде

где принадлежат а к является гомоморфизмом из в группу диагональных матриц.

Сформулированные теоремы являются непосредственными аналогами следующих трех хорошо известных фактов, касающихся

(i) Любая матрица может быть представлена как произведение двух матриц: унитарной и верхней треугольной.

(ii) Любая матрица может быть представлена в виде

где нижняя треугольная матрица, верхняя треугольная матрица, а — матрица перестановки. Более того,

определяется по А однозначным образом и для открытого плотного множества в а именно, для всех А с ненулевыми главными минорами.

(iii) То же утверждение, что и в только матрицы обе верхние треугольные и является антидиагональной матрицей для плотного открытого множества.

Конечно, (ii) и (iii) тривиальным образом эквивалентны; они называются разложением Брюа для

Теоремы для групп петель доказываются точно так же, как и конечномерные результаты. Разложение на унитарную и верхнюю треугольную матрицы это просто процесс Грама — Шмидта для замены произвольного базиса в столбцов матрицы А — ортонормированным базисом. Более геометрически, это утверждение о том, что любой флаг в содержит ортонор-мированный базис, т. е. что транзитивно действует на многообразии флагов . (В обозначает подгруппу верхних треугольных матриц.) Аналогично, разложение Брюа — это разбиение многообразия флагов на клетки Шуберта.

Для группы петель роль многообразия флагов играет комплексное однородное пространство Теорема (8.1.1) — это утверждение о том, что транзитивно действует на X, т. е. что Мы будем называть X основным однородным пространством для Между X и многообразием флагов имеется далеко идущая аналогия. В частности:

(i) X является комплексным проективным алгебраическим многообразием;

(ii) X обладает каноническими стратификацией и клеточным ?разбиением;

(iii) неприводимые представления группы G можно реализовать как пространства голоморфных сечений линейных расслоений на

В разд. 8.3 мы покажем, что для случая имеется красивое описание пространства как некоторого грассманиана; из этого описания мы выведем теоремы о разложении. Подобным же образом можно описать и для других классических групп. Случай произвольной компактной группы Ли незначительно сложнее.

Идея грассманова описания проистекает из «теории рассеяния» в смысле Лакса и Филлипса [99]. Мы кратко изложим эту точку зрения в разд. 8.12 — дополнении к этой главе. С совершенно иной точки зрения грассманово описание представляется проявлением периодичности Ботта; теорема Ботта о периодичности уже упоминалась в разд. 6.4, однако мы еще вернемся к ней в разд. 8.8.

Грассманово описание сводит изучение пространства к линейной алгебре. Интересно также рассматривать как кэлерово многообразие и заниматься теорией Морса для функции энергии. Этому подходу посвящен разд. 8.9. Еще одна совершенно независимая точка зрения состоит в том, чтобы непосредственно рассматривать как пространство голоморфных векторных расслоений на сфере Римана.

Пространство является не единственным комплексным однородным пространством для Действительно, следует представлять себе как максимальную параболическую подгруппу в в смысле алгебраических групп; поэтому соответствует скорее грассманиану где это» группа ступенчатых матриц

а не многообразию флагов Разница, впрочем, не очень существенна: подгруппа состоящая из петель у, таких, что — верхняя треугольная матрица, является минимальной параболической подгруппой, и, как мы увидим в разд. 8.7, пространство можно рассматривать как пространство «периодических флагов» в гильбертовом пространстве. Гораздо интереснее существование абсолютно других комплексных однородных пространств для связанных с римановой поверхностью. Этим вопросам посвящен разд. 8.11.

Мы закончим этот раздел техническим замечанием. Группа Ли является полупрямым произведением подгруппы G постоянных петель и нормальной подгруппы состоящей из петель у, для которых действует на сопряжением.) В частности, как многообразие, и однородное пространство можно отождествить с Мы будем часто производить это отождествление без дополнительных пояснений и будем считать однородным пространством группы Действие на задается отображением где

а поворот окружности на угол а действует на следующим образом: