5.3. Алгебры Каца — Муди

Известно, что матрица Картана произвольной полупростой алгебры Ли удовлетворяет следующим двум условиям (см. [20, гл. V], где записано в виде .

(C1) для всех для всех если то если то .

(С2) Матрица А положительно определена, т. е. все ее главные миноры больше нуля.

Обратно, для любой -матрицы А, удовлетворяющей соотношения (5.2.1) определяют абстрактную комплексную алгебру Ли по существу это и есть алгебра Каца — Муди, определяемая матрицей Картана А. Если А удовлетворяет также и то алгебра будет конечномерной и полупростой; если же не выполняется, то бесконечномерна. Естественно спросить, что может быть сказано об алгебре в этом бесконечномерном случае. Оказывается, слегка модифицируя алгебру способом, соответствующим переходу от группы к полупрямому произведению мы получим алгебру, на которую переносится большая часть конечномерной структурной теории. Поскольку систематическое изложение теории алгебр Каца — Муди не является целью этой книги, мы опишем лишь начала этой теории, отсылая читателя за дальнейшими подробностями к превосходной обзорной статье [109] или книге [86].

Прежде всего заметим, что элементы линейно независимы и порождают максимальную абелеву подалгебру Аналогия с конечномерным случаем подсказывает, что следует определить простые корни алгебры формулой . К сожалению, если матрица А необратима, то лучающиеся простые корни будут линейно зависимы. Эту трудность можно преодолеть, переходя к полупрямому произведению где некоторое пространство

дифференцирований алгебры определяемое следующим образом. Пусть пространство порождено дифференцированиями определяемыми формулами Тогда есть подпространство в так как пусть дополнительное подпространство, так что Алгеброй Каца — Муди с матрицей Картана А называется алгебра Ли с точностью до изоморфизма она не зависит от выбора

С учетом этой модификации пространство есть максимальная абелева подалгебра в а простые корни -могут быть определены так, что для всех Тогда причем корни линейно независимы. Остальные корни определяются очевидным образом.

Для дальнейшего продвижения нам нужна комплекснозначная инвариантная симметрическая билинейная форма на . К сожалению, может не быть такой формы; в действительности необходимым и достаточным условием для этого является симметризуемость матрицы Картана, означающая, что найдется обратимая диагональная матрица такая, что симметрична. Когда это так, наша форма невырожденна, причем она единственна с точностью до постоянного множителя, если матрица А неразложима, т. е. не может быть записана как нетривиальная прямая сумма двух других матриц (если матрица А разложима, то есть прямое произведение соответствующих подалгебр).

Если на есть инвариантная форма то ее ограничение на 1) невырожденно. Относительно соответствующей симметрической билинейной формы на имеем для всех Вообще, скалярное произведение вещественно для всех корней а, но если бесконечномерна, то оно не всегда положительно; корни а, для которых называются вещественными, а остальные — мнимыми.

Группу Вейля алгебры можно теперь определить как труппу изометрий пространства порожденную отражениями относительно плоскостей кегаг. Очевидно, что переводит вещественные корни в вещественные корни; в действительности вещественные корни — это в точности -орбиты простых корней.

Мы должны теперь объяснить, какое место в этой картине занимают алгебры петель. Матрица Картана алгебры Ли удовлетворяет и условию

(С2) , а все собственные главные миноры матрицы А положительны.

(См. [86].) Алгебры Каца — Муди, соответствующие матрицам Картана, удовлетворяющим обычно называют аффинными алгебрами Ли. Таким образом, а точнее, полупрямое произведение является аффинной алгеброй Ли... где q - число простых сомножителей в с то обозначает произведение алгебр где сомножитель С порожден очевидным дифференцированием алгебры

Таким путем возникает лишь около половины аффинных алгебр Ли. Остаток составляют алгебры Ли скрученных групп петель, введенных в разд. 3.7. В алгебраическом контексте выбирается внешний автоморфизм а алгебры конечного порядка (так что или 3) и алгебра заменяется своей подалгеброй состоящей из эквивариантных петель

где примитивный корень из единицы степени

Аффинные алгебры Ли допускают инвариантную симметричную билинейную форму, и их системы корней хорошо изучены (см. [72, гл. X, § 5]). В предыдущем разделе мы уже обсудили систему корней алгебры случай скрученных алгебр почти не доставляет дополнительных затруднений.

Если односвязная группа Ли с алгеброй Ли любой автоморфизм алгебры однозначно поднимается до автоморфизма группы и скрученную группу петель можно определить той же формулой (5.3.1), где теперь интерпретируется как элемент группы Таким образом, каждая; аффинная алгебра Ли происходит из группы Ли. До какой степени это верно для произвольной алгебры Каца — Муди, является открытым вопросом. Конкретная реализация соответствующих: групп до сих пор не известна (современное состояние дел в этом вопросе см. в [145], [146]).