7.5. Плюккерово вложение

Точки конечномерного грассманнана традиционно описываются плюккеровыми координатами. В точности то же можно сделать с

В разд. 7.3 мы отмечали, что каждое обладает каноническим базисом. Однако для нас будет полезно ввести класс «допустимых базисов» в Предположим, что имеет виртуальную размерность

Определение (7.5.1). Последовательность называется допустимым базисом для если

(i) линейное отображение переводящее является непрерывным изоморфизмом и

(ii) композиция где ортогональная проекция, есть оператор с определителем.

Замечания

(i) Напомним, что оператор с определителем — это оператор, отличающийся от тождественного на оператор со следом (см. разд. 6.6).

(ii) Мы обычно не будем различать между собой базис и соответствующее линейное отображение .

(iii) Канонический базис в допустим: для него композиция отличается от тождественного оператора на оператор конечного ранга.

Из определений ясно, что любые два допустимых базиса для одного и того же пространства связаны друг с другом матрицей, имеющей определитель. Кроме того, если допустимый базис для множество имеет виртуальную мощность проекция, то также есть оператор с определителем. Определим плюккерову координату базиса как определитель о да). Если виртуальная мощность множества отлична от то мы полагаем Если другой допустимый базис для то

где определитель матрицы, связывающей поэтому если считать проективными координатами, то они зависят только от

Предложение (7.5.2). Плюккеровы координаты определяют голоморфное вложение

в проективное пространство гильбертова пространства

Замечание. В разд. 7.7 мы дадим более инвариантное описание пространства 36.

Доказательство. Сначала мы должны показать, что

для любого допустимого базиса Фактически мы докажем, что

(правая часть определена, поскольку, если записать оператор в виде по отношению к разложению то и этот оператор имеет определитель, поскольку имеет определитель, a - оператор Гильберта — Шмидта).

Для каждого подпространства равенство (7.5.3) достаточно доказать для какого-нибудь одного допустимого базиса По непрерывности его достаточно доказать, когда лежит в Поэтому мы можем считать, что отличается от единичной матрицы лишь в конечном числе мест, а имеет лишь конечное число ненулевых матричных элементов. В этом случае (7.5.3) сводится к следующему утверждению: если суть и -матрицы, причем то

где пробегает - элементные подмножества в соответствующие -подматрицы в Но это утверждение просто выражает функториальность внешней степени:

Для доказательства того, что — вложение, рассмотрим сначала случай, когда подпространство есть график оператора Т: Канонический базис для задается формулой

Предположим, что имеет виртуальную мощность 0, и положим Это два конечных множества одинакового размера. Легко видеть, что есть определитель конечной подматрицы в образованной строками А

и столбцами В. В частности, в число плюккеровых координат входят все матричные элементы Поэтому ограничение на координатную окрестность является вложением.

Остальные координатные окрестности рассматриваются точно так же. В завершение заметим, что принадлежит к тогда и только тогда, когда

Стратификация грассманиана а также три его плотных подпространства и допускают следующее очень простое описание в терминах плюккеровых координат.

Предложение (7.5.4). ;

Все эти утверждения очевидны, за исключением, быть может, последних двух, справедливость которых выяснится в следующем разделе.