13.4. Действие ... на представлениях групп петель с положительной энергией

Как мы уже отмечали в предыдущем разделе, группа проективно действует на гильбертовом пространстве представления группы с положительной энергией с помощью метаплектического представления. разд. 9.5.) Мы уже отмечали, что конструкция блипов естественна относительно диффеоморфизмов, т. е. если гладкая функция на диффеоморфизм, действующий на оператором то оператор из (13.3.7) удовлетворяет соотношению

Из (13.4.1) следует, что действие на согласовано с действием которое мы уже построили. Другими словами, мы доказали, что если группа с простыми связями, то представление группы уровня 1 допускает согласованное действие группы Оказывается, этого достаточно, чтобы доказать следующую весьма общую теорему:

Теорема (13.4.2). Если представление группы петель с положительной энергией, то оно допускает согласованное проективное действие группы

Согласно теореме (9.3.1), достаточно доказать это, если неприводимо. Доказательство основано на следующей лемме:

Лемма (13.4.3). Пусть представления группы с положительной энергией, и пусть неприводимо. Если допускает проективное согласованное действие то такое действие имеется и на самом

Доказательство. Пусть В — центральное расширение группы действующее на и пусть

— действие фей Заметим, что это -эквивариантное отображение

где обозначает с действием подкрученным на автоморфизм Определим полагая

где включение и проекция прямого слагаемого Отображение это -эквивариантное отображение

как мы знаем из леммы Шура, оно является нулевым или изоморфизмом, ибо неприводимы. Если достаточно близко к единице, то должно быть изоморфизмом, так как предполагается, что действие на непрерывно. Для такого мы можем умножить на скаляр и получить унитарный оператор на

Если теперь из таковы, что и определены, то и могут отличаться лишь умножением на скаляр, равный единице по модулю, так как оба этих оператора задают изоморфизм Поскольку связна и потому порождается любой окрестностью единицы, мы заключаем, что продолжается до проективного представления группы В (а значит, и на

Доказательство теоремы (13.4.2). Предположим сначала, группа с простыми связями. Тогда мы видели в предложении (9.3.9), что любое неприводимое представление группы это прямое слагаемое в некотором представлении где представление уровня 1, а эндоморфизм группы индуцированный композицией петель с отображением Конструкция блипов показывает, что группа проективно действует на Отсюда следует, что она проективно действует и на ибо если то

где определяется из соотношения заданного есть выборов которые отличаются поворотами на углы Лемма (13.4.3) заканчивает доказательство теоремы (13.4.2) для случая группы G с простыми связями

В общем случае эта теорема вытекает из доказательства для: случая группы с простыми связями в силу следующей леммы.

Лемма (13.4.4). Для любой односвязной группы G и для любого неприводимого представления группы с положительной энергией имеются вложение где группа с простыми связями, и неприводимое представление группы такие, что прямое слагаемое в

Доказательство. Поскольку неприводимые представления соответствуют антидоминантным весам (ср. (9.3.5)), достаточно показать, что любой антидоминантный вес группы получается ограничением антидоминантного веса группы Достаточно также рассмотреть случай простой группы т. е. случаи

В стандартном описании максимального тора Т для гл. VI, табл. II]) решетку весов Т можно отождествить с подмножеством в состоящим из точек таких, что все -целые или все полуцелые; -антидоминантный вес, если

Антидоминантные веса группы уровня соответствуют таким что Рассмотрим вложение в группу с простыми связями. Решетка весов Т группы лежит в причем ограничение получается забыванием последней координаты. Элемент из Т антидоминантен, если

Антидоминантные веса для уровня снова выделяются условием Поэтому антидоминантный вес для продолжается до антидоминантного веса для

Случай группы очень похож на предыдущий: она вкладывается в Исключительная группа вкладывается в Единственный тонкий случай — это группа Ее можно вложить в но, чтобы получить все антидоминантные веса группы видимо, необходимо подкрутить вложение с помощью внешнего автоморфизма группы Однако, вероятно, не имеет смысла приводить здесь все детали. Есть надежда, что можно найти более удовлетворительное доказательство теоремы (13.4.2).