6.5. Изоморфизм .. и вложение ...

Хотя на первый взгляд это кажется очень неестественным, нам будет на удивление полезно отождествление гильбертова пространства со стандартным гильбертовым пространством с помощью очевидного лексикографического соответствия между их ортонормированными базисами: если -стандартный базис в то мы сопоставляем элемент элементу Более инвариантно, мы сопоставляем векторнозначной функции с компонентами скалярнозначную функцию заданную формулой

Обратно, набор восстанавливается по с помощью формулы

где пробегает корни степени из

Этот изоморфизм является изометрией. Он переводит непрерывные функции в непрерывные, а также сохраняет все остальные разумные классы функций, например гладкие, вещественно-аналитические, рациональные, полиномиальные. Более того, разложение соответствует разложению

Оператор умножения на соответствует оператору на Отождествляя коммутант оператора на посредством (6.1.1) и замечая, что он должен содержать коммутант оператора на мы получаем вложение

индуцирующее вложения

и т. д. Последнее вложение было уже описано в предложении (3.6.4).