Дополнение. Группы петель и уравнения типа КдФ

Г. Сигал, Дж. Вильсон

Цель этой статьи — разработать некоторые следствия недавних идей М. и Я. Сато об уравнении Кортевега — де Фриза-(КдФ) и о связанных с ним нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Мы узнали об этих идеях из работ [5] Дэйта, Джимбо, Касивары и Мивы (оригинальная., работа М. и Я. Сато имеется, видимо, только на японском языке). Мы опишем конструкцию, которая сопоставляет решение уравнения КдФ каждой точке некоторого бесконечномерного грассманиана. Для класса решений, которые получаются таким образом, в [5] используется обманчивое название «общее решение». Он включает в себя явные алгебро-геометрические решения Кричевера [10], [11] (см. также [36] и содержащиеся там ссылки), среди которых находятся хорошо известные -соли-тонные» и рациональные решения.

Основные наши цели — это определить, какой класс решенийг получается описанным методом, детально проиллюстрировать, как геометрия грассманиана отражается на свойствах решений, показать, как включаются в эту картину алгебро-геометрические решения. Мы попытались объяснить также геометрический смысл -функции», которая играет основную роль в работах: [5]. Кроме того, мы попытались дать ясный и замкнутый обзор этой теории, и надеемся, что смогли прояснить многие факты, не освещенные в литературе.

1. Введение

Уравнение КдФ

описывает эволюцию по времени функции и, зависящей от геометрически это уравнение задает поток на подходящем пространстве функций и. Хорошо известно, что теория этого

уравнения тесно связана с теорией линейного дифференциального оператора где он рассматривается как оператор на пространстве функций от х, которые меняются со временем. Фактически уравнение КдФ можно записать в «лаксовой форме»:

где это оператор

Оператор почти характеризуется тем, что для любой функции и коммутатор является оператором умножения на функцию. Точнее, для заданного имеется каноническая последовательность операторов

такая, что все являются операторами умножения на функцию и что любой оператор обладающий этим свойством, является линейной комбинацией с постоянными коэффициентами операторов Оказывается, что коэффициенты такого оператора должны быть дифференциальными многочленами от и, т. е. многочленами от функции и и ее х-производных Для любого уравнение

определяет поток на пространстве функций от х. Эти потоки называются иерархией Случай это само уравнение КдФ (с точностью до множителя 4). При имеем и соответствующий поток — это просто сдвиг аргумента функции . При четном и правая часть уравнения (1.1) равна нулю. Одна из фундаментальных теорем состоит в том, что потоки, заданные уравнением (1.1), при различных коммутируют.

В этой работе мы опишем КдФ-потоки на некотором классе функций . Наш подход связан с геометрией бесконечномерного многообразия, которое весьма интересно и само по себе. У него есть два различных описания. Первое: это пространство петель унитарной группы Второе, более полезное для наших целей описание: это грассманиан всех замкнутых подпространств в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых комплекснозначных функций на окружности которые удовлетворяют двум условиям:

Здесь z обозначает оператор который задается умножением на функцию замкнутое подпространство в порожденное для граничные значения голоморфных функций в области Смысл слова «сравнимо» объясняется в [17, гл. 7].

Наша основная конструкция сопоставляет любой точке из связной компоненты пространства мероморфную функцию на прямой из класса Группа голоморфных отображений где это диск действует на операторами умножения, а значит, действует и на Действие индуцирует КдФ-потоки на в следующем смысле: если

где вещественные числа, почти все равные нулю, то это функция, полученная из сдвигом на время вдоль потока КдФ при всех (Эта операция корректна, так как КдФ-потоки коммутируют.)

Мероморфная функция получается из так называемой -функции для по формуле

это определитель ортогональной проекции Конечно, определитель необходимо подходящим образом интерпретировать. Чтобы задать его, необходимо выбрать базисы в и поэтому определена лишь с точностью до не зависящего от х множителя. Определитель обращается в нуль, а значит, у функции имеется полюс в точности тогда, когда пересекает

Для некоторых подпространств из грассманиана -функция оказывается функцией Шура. Это было обнаружено Сато, и, как нам говорили, это наблюдение и побудило его развить свою теорию. Общая точка грассманиана может быть описана своими плюккеровыми координатами, и (как мы докажем в § 8) соответствующая -функция — это бесконечная линейная комбинация функций Шура с плюккеровыми координатами в качестве коэффициентов.

При разработке этой теории оказывается удобным переходить от -функции не прямо к а ввести промежуточный объект, функцию Бейкера Это собственная функция оператора

с другой стороны при каждом фиксированном это единственный элемент из вида

Формула ((5.14) ниже) для функции Бейкера в терминах -функции — одно из наиболее важных достижений японской школы. Эта формула является точным аналогом ранее известной формулы для решений, возникающих из алгебраической кривой, которая выражает функцию Бейкера через -функции.

Теперь мы скажем несколько слов о классе решений который получили. Предположим, что мы начинаем с -функ-ции и, определенной на интервале из Тогда задача на собственные значения имеет формальное решение вида (1.2). Коэффициенты формального ряда — это -функции рекуррентно определяемые из уравнения

где Каждое последующее содержит новую константу интегрирования; это означает, что определена с точностью до умножения на произвольный степенной ряд по с постоянными коэффициентами. Ряд (1.2) обычно не сходится для любых 2. Класс грубо говоря, состоит из таких функций, что этот ряд можно выбрать сходящимся в некоторой окрестности Чтобы оценить, насколько сильно это ограничение, рассмотрим случай быстро убывающих при функций Тогда имеются реальные решения для задачи которые определены и голоморфны по z при соответственно и однозначно определяются свойствами

Эти решения продолжаются и на ось но если и не принадлежит исключительному классу так называемых «безотражательных» или «многосолитонных» потенциалов, функции и будут линейно независимыми функциями от значит, реального решения вида (1.2) не существует. Аналогичная ситуация наблюдается и для вещественной -гладкой периодической функции и: из этих функций в классе содержатся лишь «конечнозонные» потенциалы. Периодические КдФ-потоки были описаны Маккином и Трубовицом [25] в терминах римановых поверхностей, вообще говоря, бесконечного рода: конечнозонные потенциалы — это в точности те, для которых род римановой поверхности конечен. Решения иерархии КдФ в этом случае получаются методом Кричевера.

Объясним теперь, как конструкция Кричевера включается в нашу. Кричевер сопоставляет функцию от х, скажем их алгебраической кривой X с отмеченной точкой и линейному расслоению на ней (требуются также некоторые дополнительные данные, которые мы опустим в этом введении). Решение уравнения КдФ получается при движении по прямой в якобиане кривой Мы увидим, что по данным Кричевера естественным образом строится подпространство Это делается так. Окружность рассматривается как маленькая окружность вокруг точки на подпространство состоит из функций на которые являются граничными значениями голоморфных сечений расслоения вне предполагаем, что тривиализовано в окрестности Решения Кричевера — это просто Если кривая X неособая, то, как мы покажем в § 9, -функция по существу совпадает с -функцией кривой

Алгебро-геометрические решения — это в точности те, для которых оператор коммутирует с оператором нечетного порядка. Есть очень элегантная теория, принадлежащая в сущности Бурхналлу и Чаунди [4], которая связывает коммутативные кольца дифференциальных операторов с алгебраическими кривыми. Современное изложение предмета можно найти у Мамфорда [16]; так как эта теория естественно связана с темой нашей работы, мы привели ее короткий замкнутый обзор в § 6.

Мы детально опишем потоки КдФ на двух плотных подпространствах в грассманиане, которые соответствуют полиномиальным и рациональным петлям в Первое пространство в точности соответствует рациональным решениям уравнения которые равны нулю в Красивый факт: оказывается, орбиты группы потоков КдФ на дают клеточное разбиение по одной клетке в каждой комплексной размерности. (Орбита функции образует клетку.)

Точки из соответствуют решениям Кричевера, возникающим из рациональных кривых с особенностями. Для любого орбита элемента под действием отождествляется с якобианом соответствующей кривой.

У иерархии КдФ есть совершенно очевидное обобщение, при котором оператор и заменяется оператором порядка эти иерархии связаны с пространством петель группы так же, как уравнения КдФ связаны с Для простоты мы ограничились во введении случаем но в тексте работы мы будем всегда рассматривать общий случай, который не доставляет дополнительных сложностей. Фактически мы рассматриваем еще йолее общую иерархию, иерархию уравнений Кадомцева — Петвиашвили (КП);

упомянутые иерархии получаются редукцией иерархии Менее очевидны обобщения иерархии описанные Дринфельдом и Соколовым [6], где, грубо говоря, заменяется произвольной компактной группой; точнее, Дринфельд и Соколов ассоциируют несколько иерархий с каждой аффинной алгеброй Каца — Муди. Некоторые из этих иерархий обсуждаются в [5], хотя там не развивается никакой общей теории. Ключевой шаг в [6], пропущенный в [5], состоит в том, чтобы рассматривать КдФ-потоки как редукцию более простых «модифицированных -потоков [12], [20]: обобщение последних вполне очевидно. Мы отсылаем читателя к работе [35] по поводу краткого обзора того, как настоящая теория обобщается на уравнения Дринфельда и Соколова, здесь мы упомянем только, что с этой точки зрения наша основная конструкция возникает как частный случай хорошо известной конструкции («одевания») Захарова и Шабата [23].

Мы закончим техническим замечанием. Во введении мы рассматривали как функции одной переменной х. В тексте работы будет, однако, удобнее рассматривать их как функции бесконечного числа переменных или, иначе, как функции элемента

группы Для этого мы положим

Тогда это решение иерархии (1.1) в том смысле, что

Замечание, добавленное в июле 1984. Мы обращаем внимание читателя на несколько работ и препринтов [26] — [33] японской школы, связанных с нашей работой, которые мы увидели после ее окончания.

Содержание работы

В § 2 описан грассманиан гильбертова пространства и его связь с группами петель. (Этот параграф опущен при переводе, так как он повторяет материал гл. 7 книги [17]. — Перев.)

В § 3 описано детерминантное линейное расслоение на грассманиане и его связь с центральным расширением группы петель. Мы определяем -функцию и явно вычисляем ее для подпространств, соответствующих многосолитонным решениям.

В § 4 описана основная формальная теория обобщенных уравнений типа

В § 5 описывается соответствие между точками грассманиана, функциями Бейкера и дифференциальными операторами, рассматриваются простейшие примеры. Мы даем также характеризацию класса

В § 6 показано, как конструкция Кричевера соответствует конструкциям из § 2—5. Там же содержится обсуждение колец коммутирующих дифференциальных операторов и свойства Пенлеве для стационарных решений уравнений

§ 7 посвящен подпространствам грассманиана, которые упоминались выше.

В § 8 получено разложение общей -функции в последовательность функций Шура.

В § 9 показано, что если происходит из алгебраической кривой, то -функцию можно явно выразить через -функцию, связанную с этой кривой.

§ 10 — это приложение, объясняющее связи теории, развитой в работе, с теорией представлений групп петель. (Этот параграф сокращен при переводе: опущен материал, уже изложенный в [17]. — Пере в.)