8.12. Дополнение: теория рассеяния

Грассманова интерпретация групп петель возникает в теории рассеяния, развитой Лаксом и Филлипсом [99]. Далее мы очень кратко опишем ее результаты.

Итак, мы собираемся изучать решения волнового уравнения

здесь комплекснозначная функция от неотрицательная вещественнозначная функция, не зависящая от которая обращается в нуль вне некоторого конечного интервала. Наше уравнение описывает волны, рассеивающиеся препятствием, которое описывается функцией Интуитивно кажется правдоподобным, что если решение достаточно хорошо локализовано в пространстве при то через большое время решение будет в основном (в смысле его энергии, которая скоро будет определена) сосредоточено в области, где То есть мы ожидаем, что любое решение уравнения (8.12.1а) для больших положительных будет близко к некоторому решению «невозмущенного уравнения»

Мы ожидаем, что аналогичный факт справедлив и для больших (по абсолютной величине) отрицательных

Пусть теперь V — линейное пространство решений уравнения (8.12.1а) и пространство решений уравнения для начала мы ограничимся решениями с компактным носителем по х для любого Мы ожидаем, что имеется два изоморфизма которые сопоставляют решению те решения невозмущенного уравнения, к которым стремится Композиция

называется матрицей рассеяния исходного уравнения; с определенной точки зрения она хорошо описывает поведение решений. (Неразумно было бы ожидать, что окажутся изоморфизмами, если уравнение (8.12.1а) допускает «ограниченные состояния», т. е. если оператор имеет отрицательные собственные значения; этот случай исключается условием положительности

Так как не зависит от времени, имеется однопараметрическая группа преобразований пространства V, определяемая сдвигом по времени. Эти преобразования сохраняют энергетическую норму

где интеграл берется вдоль прямой константа. Мы можем пополнить V по этой норме и получить гильбертово пространства с унитарной группой преобразований; аналогично, после пополнения дает Преобразования -изометрии, и очевидно, что они коммутируют со сдвигами по времени; итак, — унитарное преобразование, коммутирующее со сдвигами по времени.

Решение уравнения можно анализировать, совершив преобразование Фурье по

Здесь принадлежит двумерному пространству решений уравнения

которое можно отождествить с отображая Таким образом, можно отождествить с гильбертовым пространством так, что сдвиг по времени представляется умножением на функцию где со — координата в Согласно простому варианту предложения (6.1.1), мы знаем, что унитарные преобразования коммутирующие со всеми составляют группу измеримых отображений Матрица рассеяния, следовательно, является элементом этой группы, которая в свою очередь является вариантом группы петель. (Если 5 соответствует отображению то описывает рассеяние волн частоты С ростом частоты влияние потенциала уменьшается, т. е. а при что оправдывает восприятие как петли.)

Связь этого обсуждения с грассмановым описанием петель основана на теореме, которая утверждает, что задать изоморфизм между некоторым гильбертовым пространством с действием унитарной группы и стандартным пространством с группой умножения на -это все равно, что

задать так называемое уходящее подпространство в . (Здесь К — некоторое дополнительное гильбертово пространство.) Стандартное уходящее подпространство в состоит из замыкания решений таких, что для Когда после преобразования Фурье отождествляется с -значными функциями от со, переходит в пространство граничных значений функций, голоморфных в полуплоскости

Определение (8.12.3). Уходящим подпространством в тяльбертовом пространстве с действием однопараметрической унитарной группы называется замкнутое подпространство такое, что

Основная теорема теории рассеяния Лакса — Филлипса [99] состоит в том, что по тройке можно построить гильбертово пространство К и канонический изоморфизм заданной тройки со стандартной тройкой Но). Другими словами, задать два отображения это все равно, что задать два подпространства На интуитивном уровне которое отображается оператором на состоит из «уходящих волн», состоит из «приходящих волн» и отображается на оператором

Мы не будем доказывать здесь эту теорему. Ее вариант, непосредственно связанный с группами петель, состоит в замене непрерывной группы дискретной Его очень легко доказать. Стандартной моделью является пространство соответствующая группа порождается умножением на а Но имеет обычный смысл, принятый в этой книге. По заданным можно определить К как По существу эта теорема сводится к следующему утверждению.

Предложение (8.12.4). Пусть К — гильбертово пространство, его унитарная группа. Тогда группу измеримых петель можно отождествить с множеством замкнутых подпространств таких, что

В доказательстве теоремы (8.3.2) содержится доказательство этого результата. Фактически наиболее тяжелый шаг в доказательстве (8.3.2) состоял в обосновании того, что подпространство удовлетворяет условиям предложения (8.12.4).

Замечание. Как мы уже отмечали, нет простого описания для Настоящий результат, однако, показывает, что есть — хотя и не очень явное — описание пространства измеримых петель.