4.11. Дополнение: когомологии группы LG и ее алгебры Ли

Для компактной группы G когомологии с вещественными коэффициентами могут быть вычислены по теореме де Рама. Если обозначить через левый сдвиг замкнутой формы на G с помощью элемента то усредненная форма представляет тот же класс когомологий, что и поскольку класс когомологий не меняется при сдвигах. Отсюда следует, что когомологии можно вычислить с помощью» коцепного комплекса левоинвариантных форм на т. е. с помощью коцепного комплекса алгебры Ли Иными словами,

Известно, что эти когомологии образуют внешнюю алгебру с I образующими нечетных степеней, где I — ранг группы Эти образующие следующим образом соответствуют образующим алгебры инвариантных полиномиальных функций на (которая сама является алгеброй многочленов от I образующих ([20, гл. V, § 5, п° 3])). По каждому многочлену степени рассматриваемому как симметрическая полилинейная функция.

строится кососимметрическая полилинейная функция 5 от переменных по формуле

где сумма берется по всем перестановкам множества

Если то в качестве образующих кольца инвариантных многочленов можно взять где

Очень легким результатом в алгебраической топологии [16] является тот факт, что когомологии пространства отмеченных петель на односвязной группе G образуют алгебру многочленов от четномерных классов, получаемых из образующих алгебры трансгрессией, т. е. взятием обратного образа на при отображении вычисления, с последующим интегрированием по Класс, получаемый таким образом из (4.11.1), есть -форма на значение которой на касательных векторах в точке представляемых элементами равно

Эта форма естественно определена на Когомологии это просто тензорное произведение поскольку как пространство

Дифференциальная форма (4.11.2), очевидно, не является левоинвариантной, и у нас нет оснований ожидать, что когомологии пространства могут быть представлены левоинвариантными формами. Тем не менее справедливо

Предложение (4.11.3). -форма (4.11.2) на LG когомологична рациональному кратному левоинвариантной формы, получаемой косо симметризацией отображения

Следствие (4.11.4). Естественное отображение

сюръективно.

Замечания. На самом деле отображение из (4.11.4) есть изоморфизм. Мы докажем это в разд. 14.6 (ср. также [97]). Этот результат следует противопоставить нашему открытию в разд. 4.2 того факта, что при группа намного больше, чем Квиллен указал нам, что класс в получаемый взятием обратного юбраза класса (4.11.1) при отображении вычисления и интегрированием его по циклу размерности в X, при представляется левоинвариантной формой, но в остальных случаях, как правило, нет.

Доказательство (4.11.3). Введем еще некоторые удобные обозначения. Беря обратный образ 1-формы Маурера — Картана

на значениями в при отображении вычисления мы будем записывать получающуюся форму как обращается в нуль на касательных векторах в направлении равна нулю вдоль (таким образом, в точке форма есть . В этих обозначениях формы из (4.11.2) и (4.11.3) получаются (с точностью дорациональных множителей) интегрированием по форм

на (через обозначается дифференцирование форм в направлениях соответственно).

Поскольку на мы получаем

и

Рассмотрим теперь форму на Ясно, что поэтому

Используя инвариантность многочлена и тот факт, что в силу тождества Якоби мы видим, что третий член в правой части равен в, откуда

Требуемый результат получается интегрированием этого соотношения по