12.3. Спинорное представление как сечения голоморфного линейного расслоения

Голоморфное вложение пространства в проективное пространство определяет голоморфное линейное расслоение на : это подрасслоение тривиального расслоения слой которого в — это Так как является подмногообразием в грассманиане наиболее очевидное проективное вложение это вложение Плюккера в которое соответствует детерминантному линейному расслоению Det на Связь между и объяснение обозначения даются следующим предложением.

Предложение (12.3.1). Линейное расслоение это квадратный корень из

Это означает, что имеется голоморфное отображение сохраняющее слои, такое, что для

Доказательство. Выберем ортонормированный базис Если график оператора прямая, содержащая

в обозначениях формулы (12.2.6). Далее, — это квадратный корень который является определителем -матрицы, составленной из строк -матрицы

которые соответствуют набору где дополнение (Здесьмы считаем, что строки (12.3.2) занумерованы с помощью Другими словами, это координата Плюккера подпространства Поэтому, определяя отображение как возведение в квадрат координат, т. е.

получаем коммутативную диаграмму

где нижнее отображение — это вложение Плюккера. Это доказывает (12.3.1).

Если расслоение ограничено на подпространство то, как мы знаем из предложения (12.3.1), оно оказывается детерминантным расслоением для

Мы видели в разд. 2.9, что голоморфное вложение определяет линейное отображение из двойственного пространства в пространство голоморфных сечений линейного расслоения, двойственного к По построению на нем действует группа и отображение эквивариантно.

Предложение (12.3.3). Отображение является изоморфизмом.

Доказательство. Так как а пространство голоморфных сечений этого расслоения совпадает с согласно (2.9.2), ограничение сечений на дает отображение и композиция является тождественным отображением. С другой стороны, мы a priori знаем (ср. (2.9.1)), что неприводимое представление группы поэтому отображение должно быть сюръективным.

Следствие (12.3.4). (i) Спинорное представление неприводимо.

(ii) Оно продолжается до голоморфного представления группы

Голоморфное линейное расслоение на однозначно определяется условием так как пространство односвязно. Поэтому, если непосредственно установить, что Det на обладает квадратным корнем, то мы можем определить спинорное расслоение как двойственное к Ограничение его сечений на дает отображение в Недостаток этого подхода состоит в том, что неочевидно, является ли это ограничение изоморфизмом. Существование квадратного корня можно установить по крайней мере тремя различными способами.

(i) Можно показать, что первый класс Чженя расслоения Det делится на 2 в Это легко, так как индуцирует изоморфизм .

(ii) Можно показать, что состоит из двух элементов. Тогда определяется как универсальное накрытие группы определяется где

— индуцированное двулистное накрытие группы которое действует на с помощью гомоморфизма

(iii) Можно заметить, что функции перехода для обладают каноническими квадратными корнями. Этот подход по существу сводится к предложению (12.2.10).