Глава 12. Спинорное представление

Ортогональная группа имеет очень интересное неприводимое проективное унитарное представление размерности которое называется спинорным представлением. В первых двух разделах этой главы мы опишем его настолько явно, насколько это возможно, а потом перейдем к обсуждению бесконечномерного случая, который в числе прочего дает конструкцию базисного неприводимого представления группы петель

12.1. Алгебра Клиффорда

Если мы отождествим пространство на котором действует то можно считать унитарную группу подгруппой в Группа естественно действует на и ее действие на внешних степенях неприводимо. Эти представления, конечно, не продолжаются до представлений группы но если рассмотреть их вместе, то действие на -мерном пространстве продолжается до проективного представления группы Это и есть спинорное представление.

Простейший и наиболее традиционный способ описать действие на внешней алгебре использует алгебру Клиффорда. Пусть V — вещественное векторное пространство со скалярным произведением В. Алгебра Клиффорда пространства V — это алгебра над полем вещественных чисел, которая содержит V как векторное подпространство и порождается его элементами, причем любые два элемента подчиняются единственному соотношению

То есть если ортонормированный базис в V, то антикоммутируют в Далее, элементов для образуют базис для как векторного пространства.

Алгебра Клиффорда (по крайней мере для конечномерных содержит алгебру Ли ортогональной группы в качестве подалгебры, т. е. как векторное подпространство, замкнутое относительно коммутатора Действительно, в ортонормированном базисе алгебра Ли состоит из вещественных кососимметричных -матриц. Матрицы для , где в матрице на месте стоит единица, а на остальных — нули, образуют базис ортогональной алгебры Ли; легко проверить, что элементы удовлетворяют точно тем же коммутационным соотношениям, что и более элегантного и инвариантного описания этого изоморфизма можно было бы сначала отождествить алгебру Ли а затем отобразить полагая Вложение характеризуется соотношением

в , где элемент из соответствующий

Из предыдущих замечаний следует, что алгебра Ли группы действует на любом векторном пространстве на котором действует алгебра и если конечномерно, мы можем взять экспоненту и получить (возможно, многозначное) представление связной компоненты единицы группы Фактически любое представление группы полученное таким способом, двузначно, поскольку, в то время как следовательно,

Элементы алгебры Ли группы можно экспоненцировать в конечномерной алгебре Эти экспоненты порождают подгруппу в группе обратимых элементов из Если то

где элемент из соответствующий (Это непосредственно следует из

Хорошо известно, что ортогональная группа порождена отражениями относительно гиперплоскостей в Но если не равен нулю, то где отражение в гиперплоскости, перпендикулярной . И если четна и мы определим как подгруппу, порожденную единичными векторами из V в подгруппе обратимых элементов то получим сюръективный гомоморфизм который характеризуется свойством (12.1.3). Несложно показать, что группы это двулистное накрытие группы и что является связной компонентой единицы в

Мы не будем, однако, развивать этот подход, так как он не очень полезен в бесконечномерной ситуации.

Сейчас мы должны описать, как действует на Пусть отображение, такое, что которое определяет комплексную структуру на Мы можем продолжить до комплексно-линейного отображения Комплексифицированное пространство распадается в сумму

собственных пространств для соответствующих собственным значениям Комплексное векторное пространство, определяемое парой отождествляется с т. е. удобнее рассматривать его как комплексное подпространство в а не отождествлять его как множество с У. Мы будем предполагать, что сохраняет скалярное произведение на и продолжим это скалярное произведение до комплексной билинейной формы на она не эрмитова. Ясно, как следует определять алгебру Клиффорда для комплексного векторного пространства; содержится в как комплексное подпространство, порождает ее и любые элементы удовлетворяют соотношениям (12.1.1). Эта алгебра совпадает с комплексификацией исходной алгебры Мы докажем

Предложение (12.1.5). Внешняя алгебра является модулем над Фактически можно отождествить с алгеброй -матриц всех комплексно-линейных преобразований алгебры

Доказательство. Заметим сначала, что -изотропное подпространство в т. е. что для всех (Действительно, Сопряженное пространство также изотропно. Поэтому содержит внешние алгебры в качестве подалгебр. Кроме того, алгебра порождена которые удовлетворяют антикоммутационным соотношениям

Алгебра действует на себе левым умножением. С другой стороны, для любого а из двойственного пространства имеется антидифференцирование

которое понижает степень на единицу и характеризуется двумя свойствами

Легко проверить, что и антикоммутируют для всех Билинейная форма на отождествляет Мы определим действие на действует как где Тогда соотношение превращается в (12.1.6), и, значит, действия определяют действие (Действие элементов из на в квантовой теории поля называют действием «операторов рождения и уничтожения».)

Чтобы убедиться в том, что алгебра всех эндоморфизмов алгебры заметим, что имеют одинаковые размерности как векторные пространства и что элементов

в где — базис в такой, что пробегают подмножества из соответствуют естественному базису в

Из (12.1.5) почти сразу следует, что представление группы на неприводимо (ср. разд. 12,5); мы дадим совершенно иное доказательство неприводимости в разд. 12.3. Если мы разделим четные и нечетные степени, записывая

то связная группа сохраняет это разложение, неэквивалентные неприводимые представления группы они неэквивалентны даже как проективные представления подгруппы

Замечание. Двулистное накрытие группы которое получается ограничением накрытия на можно описать явно как

Оно действует на сохраняя все и действует на оператором Разумеется, при действии на проективном пространстве это стандартное действие на

В заключение этого раздела заметим, что обладает естественным эрмитовым произведением и является

относительно него (конечномерным) комплексным гильбертовым пространством. Для мы положим

и вообще

Действия на сопряжены относительно:

для Из этого следует, что элементы из У действуют самосопряженными операторами и что элементы алгебры Ли; кососимметричны. Поэтому спинорное представление унитарно.