7.3. Стратификация многообразия Gr(H)

Общий элемент пространства имеющий виртуальную размерность нуль, трансверсален к т. е. Эти общие элементы образуют плотное открытое подмножество в своей связной компоненте. Другие элементы из той же компоненты пересекаются с нетривиально: из следующего далее обсуждения вытекает, что те подпространства, для которых образуют замкнутое подмножество коразмерности Наиболее очевидной стратификацией пространства была бы стратификация по размерности пересечения (всегда конечной). Нам понадобится, однако, более тонкая стратификация, учитывающая размерности пересечений для всех

Скажем, что элемент пространства имеет конечный порядок если он имеет вид

Иными словами, есть граничное значение функции голоморфной в полусфере 1, за исключением полюса порядка в точке Для каждого обозначим через множество элементов конечного порядка в Поскольку элементы конечного порядка плотны в каждом а проекция является изоморфизмом для подходящего мы получаем

Предложение (7.3.2). Множество плотно в

Элементы в порядка образуют конечномерное пространство Для данного положим

Множество принадлежит причем его виртуальная мощность равна виртуальной размерности пространства так как число элементов множества не превосходящих есть что равно для достаточно больших таких, что проекция сюръективна.

Для каждого пусть некоторый элемент из вида (7.3.1) с Очевидно, что есть базис пространства в алгебраическом смысле и проекция является изоморфизмом. Мы можем сделать выбор однозначным, потребовав, чтобы он проектировался в этот базис будем называть каноническим базисом пространства (наш выбор — это в точности процесс построения базиса в подпространстве, известный из элементарной линейной алгебры).

Для данного будем называть стратом пространства соответствующим множество

Иными словами, состоит из всех таких, что для всех где число элементов множества не превосходящих

Индексирующее множество виртуальной мощности канонически записывается в виде

где для больших Мы упорядочим множества одинаковой виртуальной мощности, полагая по определению

Определим также длину множества формулой

Тогда из отношения вытекает, что

Наконец, будет удобным ввести «строго нижнюю треугольную» подгруппу в состоящую из всех элементов А, таких, что для всех

Нашу стратификацию описывает

Предложение (7.3.3). (i) Страт является стягиваемым замкнутым подмногообразием в открытом множестве коразмерности .

(ii) есть орбита элемента под действием группы

(iv) Замыкание страта есть объединение стратов по всем

Доказательство, (i) Мы уже показали, что содержится в Далее, если то проекция есть изоморфизм, так что имеет единственный базис проектирующийся в базис . В силу единственности лежит в тогда и только тогда, когда для всех элемент имеет порядок Если подпространство задано как график оператора т. е. то лежит в в точности тогда, когда матричные элементы равны нулю при Число пар в таких, что равно длине Таким образом, соответствует гильбертову подпространству коразмерности

Предположим, что есть график оператора Пусть ортогональная проекция. Тогда оператор лежит в и

Перпендикулярная проекция на может лишь понижать порядок элементов, поэтому если проекция есть изоморфизм, то должно быть не меньше линейно независимых элементов порядка чем т. е.

для всех Это эквивалентно утверждению

Из вытекает, что замыкание страта содержится в объединении стратов Но для пусть подпространство, порожденное элементами

При пространство лежит в если же то Это доказывает, что замыкание страта пересекается с Но тогда это замыкание должно содержать поскольку является орбитой группы