6. Алгебраические кривые: конструкция Кричевера

Конструкция Кричевера решений уравнения КдФ начинается с набора данных, среди которых наиболее важными являются компактная риманова поверхность X и голоморфное линейное расслоение на ней. Мамфорд [16] отметил, что эта конструкция без особых изменений проходит, если X — любая полная неприводимая комплексная алгебраическая кривая (возможно, особая), и что в этом случае естественно рассматривать в качестве свободный когерентный пучок ранга 1 на (Если кривая X неособая, любой такой пучок происходит из линейного расслоения.) Рассмотрение особых кривых имеет смысл, так как -солитонные решения соответствуют рациональным кривым с двойными точками; кроме того, решения, возникающие из пучков без кручения, которые не являются линейными расслоениями, по-видимому, ведут себя не экзотически (мы приведем примеры в § 7). Пучки без кручения не вызывают дополнительных трудностей, но окажутся существенными при доказательстве теоремы (6.10) ниже.

Кроме X и в конструкции требуется еще набор данных Здесь это неособая точка на локальный параметр на X вблизи Мы будем предполагать, что дает изоморфизм некоторой замкнутой окрестности точки лгоо. в X и диска на сфере Римана. Этого всегда можно добиться растяжением замечание (6.5) ниже). Наконец, это тривиализация над X». Мы будем использовать для отождествления сечений расслоения над подмножествами из с комплекснозначными функциями. Мы отождествим также единичную окружность с ее прообразом в X относительно z. Мы обозначим через дополнение к внутренности замкнутые множества покрывают X, к их пересечение равно

По всем этим данным строится следующее подпространство это замыкание пространства аналитических функций на которые продолжаются до сечений расслоения над

Предложение (6.1). Подпространство лежит в Виртуальная размерность пространства равна где, как обычно, обозначает эйлерову характеристику

Доказательство. Заметим сначала, что проекцию можно представить в виде цепочки отображений

для подходящего такого, что (здесь это скейлинговое преобразование, которое обсуждалось в [17, разд. 7.6]), Для достаточно близкого к 1, отображение ограничено: действительно, каждая функция является граничным значением голоморфного сечения над и (по предположению) тривиализация продолжается на некоторое открытое множество, содержащее X». Таким образом, просто сопоставляет функции функцию т. е. значения на окружности, слегка сдвинутой от границы множества Так как является компактным оператором, проекция также компактна. Легко получить теперь, что проекция имеет замкнутый образ.

Осталось показать, что проекция является фредгольмовым оператором указанного индекса. Мы докажем более точное утверждение: ядро и коядро ортогональной проекции это соответственно. Пусть открытые множества в X, содержащие

Так как являются пространствами Штейна, мы можем вычислять когомологии поверхности X с коэффициентами в любом когерентном пучке по покрытию в частности, имеется точная последовательность

где обозначает сечения расслоения 3? над открытым подмножеством Переходя к прямому пределу, когда стремятся к получаем точную последовательность»

Поскольку — пучок без кручения, его сечения над и определяются своими ограничениями на т. е. мы можем отождествить с подпространствами в пространстве вещественно-аналитических функций на 51. Два средних члена в написанной точной последовательности превращаются в

где отображение является вложением для первого слагаемого вложением с обратным знаком для второго (мы обозначаем через пространство аналитических функций из подпространства Ядро и коядро этого отображения совпадают с ядром и коядром проекции и осталось только убедиться, что эти ядро и коядро не меняются при переходе к пополнениям Но функция из ядра последней проекции — это общее граничное значение в смысле функций, голоморфных вне и внутри значит, эта функция должна быть аналитической: ядра совпадают. Совпадение коядер легко следует из; того, что проекция имеет замкнутый образ.

Те же рассуждения показывают, что ядро и коядро ортогональной проекции можно отождествить с где — пучок, сечения которого — это сечения расслоения 3, обращающиеся в нуль в В частности, трансверсально, если и только если Для читателей работ [16], [21] отметим, что в них рассматривается пучок 3, а не .

Мы в основном интересуемся подпространствами виртуальной: размерности нуль; по предложению (6.1) они возникают из пучков с Если — линейное расслоение, теорема Римана—Роха показывает, что его степень должна быть равна арифметическому роду

Итак, по набору данных ( с строится: подпространство в грассманиане, а ему, согласно § 5,

соответствует решение уравнений В сущности, эта конструкция совпадает с конструкцией Кричевера [10], [11]. Точнее, Кричевер рассматривает случай, когда X — неособая кривая, и начинает с положительного дивизора где степени равной роду кривой Он предполагает, что отличны от и что неспециален. Неспециальность означает, что линейное расслоение , соответствующее , имеет единственное (с точностью до умножения на константу) голоморфное сечение, которое обращается в нуль в точности в точках это сечение определяет тривиализацию 9? над дополнением к в частности над окрестностью точки Если все точки лежат вне диска X», мы можем использовать эту тривиализацию; наша конструкция в этом случае превращается в конструкцию Кричевера.

Описанное нами соответствие между алгебро-геометрическими данными и подпространствами в очевидно, не взаимно однозначно по следующей причине: пусть отображение является бирациональной эквивалентностью (т. е., интуитивно, кривая X получается из X «увеличением ее особенности»). Тогда из пучка 2 на X и из его прямого образа на X получается одно и то же подпространство Мы будем избегать этой неоднозначности, рассматривая только максимальные пучки без кручения на X, т. е. те, которые не являются прямым образом некоторого пучка на менее особой кривой. Возможно, следующее описание таких пучков будет более прозрачным. Напомним (см. [7]), что пучки без кручения ранга 1 на X фиксированной эйлеровой характеристики образуют компактное пространство модулей на котором обобщенный якобиан кривой X (линейные расслоения степени нуль) действует тензорным умножением. Мы утверждаем, что максимальные пучки без кручения образуют в точности ту часть пространства на которой якобиан действует свободно. Действительно, если — любой пучок без кручения ранга 1 на линейное расслоение степени нуль, то задание изоморфизма эквивалентно заданию изоморфизма ; но это и есть структурный пучок «минимально особой» кривой X, такой, что — прямой образ пучка на следовательно, это пучок в точности когда максимален. Очевидно, что любое лилейное расслоение является максимальным пучком без кручения, и если все особенности кривой X являются плоскими, то и все максимальные пучки без кручения являются линейными расслоениями, так как в этом (и только в этом) случае является неприводимым пространством, которое содержит линейные расслоения как открытое по Зарисскому подмножество (см. [34]). Однако в общей ситуации есть много максимальных пучков без

кручения, которые не являются линейными расслоениями; мы. приведем некоторые примеры в § 7.

Предложение (6.2). Описанная выше конструкция устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизма данных ( где пучок 3 максимален, и некоторыми подпространствами

Доказательство. Пусть подпространство, построенное по данным ( где пучок 3 максимален. Мы покажем, как восстановить все эти данные (с точностью до изоморфизма) по подпространству Напомним (см. [17, разд. 7.3]) определение плотного подпространства в состоящего из элементов конечного порядка. Очевидно, что можно отождествить с пространством алгебраических сечений пучка 3 над; Если А — координатное кольцо аффинной кривой. то это -модуль ранга 1 без кручения, соответствующий пучку 3, ограниченному на С другой стороны, пусть кольцо аналитических функций на таких, что Ясно, что алгебра содержит А (если отождествить функции из с их ограничениями на является точным Ляг-мрдулем. Так как является модулем без; кручения ранга 1 над А, отсюда следует, что можно отождествить с целым подкольцом в поле частных кольца А. Это означает, что является кривой вида (где X — полная кривая), которая бирационально проектируется на но поскольку по условию пучок 3 максимален, мы получаем, что Итак, мы построили по кривую X, точку и ограничение пучка 3 на Наконец, включение ЦРПп определит тривиализацию пучка 3 над (а значит, продолжение ), так как для значение в определяет отображение которое определяет изоморфизм слоя 3 в . (Это очевидно, поскольку слой канонически отождествляется с где идеал функций, которые обращаются в нуль в

Замечание (6.3). Определение кольца имеет смысл для любого Однако, вообще говоря, (Это ясно, например, для подпространства коразмерности 1 в которое определяется как ядро линейного отображения где

Подпространства возникающие из алгебро-геометрических данных, — это в точности те подпространства, для которых содержит элемент любого достаточно высокого порядка, или, эквивалентно, такие подпространства, что -модуль имеет

ранг Это непосредственно следует из предыдущего обсуждения ввиду того, что координатные кольца А неприводимых кривых вида полная кривая, а неособая точка) можно охарактеризовать как области целостности с фильтрацией

такой, что

Замечание (6.4). Отметим, что для любого конструкция § 5 дает реализацию как коммутативного кольца дифференциальных операторов. Точнее, доказательство предложения (5.11) показывает, что для любой функции имеется единственный дифференциальный оператор такой, что

Если то и . В частности, порядок оператора равен порядку функции

Замечание (6.5). Как мы видели в § 5, растяжение локального параметра (где с — ненулевая постоянная) соответствует действию скейлинговых преобразований на решение иерархии Поэтому условие, что z является локальным параметром вплоть до не является серьезным ограничением в нашей теории.

Замечание (6.6). Решение иерархии КП не зависит от выбора тривиализации при другом выборе умножается на функцию вида что, как мы знаем, не меняет решения. Даже подпространство не меняется при замене на где — ненулевая константа; это не противоречит предложению (6.2), так как пятерки данных ( для различных очевидно, изоморфны.

Замечание (6.7). Мы получаем решение иерархии КдФ (т. е. ), если и только если т. е. если локальный параметр z таков, что продолжается до мероморфной функции на X, не имеющей иных особенностей, кроме полюса порядка в фиксированного это, конечно, налагает ограничение на допустимые пары ( например, при кривая X должна быть гиперэллиптической, а точка точкой Вейерштрасса.

Замечание (6.8). Важная часть теории Кричевера состоит «в наблюдении, что потоки КдФ или КП соответствуют

прямолинейному движению по якобиану кривой Это легко усмотреть и с нашей точки зрения. Действительно, пусть для любого обозначает линейное расслоение, полученное из тривиальных расслоений на и склеиванием с помощью функции перехода открытой окрестности Расслоение снабжено тривиализацией над X. Естественное действие IV на соответствует следующему действию на действует тривиально на первых трех компонентах, а тензорно умножает на Действие на решениях, иерархии КП соответствует просто отображению Утверждение о прямолинейном движении становится теперь ясным в силу следующего результата:

Предложение (6.9). Отображение определяет сюръективный гомоморфизм на обобщенный якобиан кривой X (который состоит из всех голоморфных линейных расслоений степени нуль).

Доказательство. Если линейное расслоение на X, то тривиальны, так как все расслоения на аффинных кривых аналитически тривиальны, а содержатся в аффинных открытых подмножествах кривой X. Поэтому для некоторой голоморфной функции , число вращения которой равно степени Мы можем изменить на элемент из не меняя поэтому, если число вращения для равно нулю, нам достаточно выбирать только из

Пример

Вернемся ненадолго к подпространству которое было введено в § 3 и обсуждалось в § 5. В этом случае состоит из всех многочленов от переменной z, таких, Для всех Это координатное кольцо аффинной кривой, пополнение которой получается из сферы Римана отождествлением точек для всех рациональная кривая с двойными точками. Если взять в качестве образующих в то уравнение для имеет вид

В § 5 мы отмечали, что орбита относительно содержит все где пробегает Это согласуется с (6.9), так как обобщенный якобиан кривой

Коммутирующие дифференциальные операторы

Последняя наша цель в этом параграфе отметить, что наши результаты непосредственно приводят к доказательству так называемого свойства Пенлеве для стационарных уравнений Так как стационарные уравнения имеют вид этот результат можно сформулировать как утверждение о коммутирующих операторах.

Теорема (6.10). Пусть дифференциальный оператор, коэффициенты которого определены и являются гладкими функциями в окрестности I нуля в Пусть существует дифференциальный оператор порядка взаимно простого с который коммутирует с Тогда функции продолжаются до мероморфных функций на всей комплексной плоскости с полюсами порядка не более чем и все конечные особые точки из регулярны.

Заметим, что условие о взаимной простоте порядков операторов существенно: если оно не выполняется, то возникают тривиальные контрпримеры, скажем, или, чуть более общий пример, многочлены от некоторого оператора меньшего порядка.

Легко видеть (например, переводя сопряжением с помощью формального интегрального оператора, как в § 4), что любой оператор коммутирующий с имеет вид

т. е. является линейной комбинацией операторов из иерархии Для любой последовательности чисел стационарное уравнение есть система обыкновенных дифференциальных уравнений на коэффициенты оператора Назовем такое уравнение (или соответствующий оператор допустимым, если имеется индекс взаимно простой с для которого Например, для простого все нетривиальные стационарные уравнения КдФ допустимы. Если допустим, то алгебра, порожденная содержит операторы порядка, взаимно простого с Поэтому теорему (6.10) можно сформулировать следующим образом: любое решение допустимого стационарного уравнения КдФ имеет вид, который описан в теореме (6.10).

Теорема (6.10) будет следовать из (5.18), если мы покажем, что любой оператор удовлетворяющий ее условию, имеет вид для некоторого пространства возникающего из алгебраической кривой. Это хорошо известно и доказано в [16],

[21], но для полноты мы дадим независимое доказательство, следуя подходу Бурхнала и Чаунди [4].

Предложение (6.11). Пусть коммутирующие дифференциальные операторы, удовлетворяющие условиям тогда

(i) существует неприводимый многочлен вида

такой, что .

(ii) для всех, кроме конечного числа, точек аффинной кривой с уравнением имеется единственная общая собственная функция операторов такая, что

Для любого мероморфная функция на кривой

Для формальные функции Бейкера для сходятся при больших z и

(Заметим, что это локальные параметры на бесконечности.)

Мы начнем с доказательства утверждения Для любого определим как -мерное векторное пространство решений уравнения на Базис для образуют функции для такие, что Заметим, что для любого и для любого

где многочлены, не зависящие от

Оператор отображает в себя. В базисе действие оператора на задается -матрицей полиномиально зависящей от А. Пусть характеристический многочлен Легко видеть, что это многочлен степени по А: фактически можно показать, что (с точностью до знака) он совпадает с многочленом, полученным, если в описанной конструкции поменять местами. Поэтому имеет вид, описанный в Рассмотрим дифференциальный оператор Уравнение имеет по крайней мере одно решение в каждом Так как у дифференциального оператора может быть лишь конечное число решений, отсюда следует,

Те же рассуждения показывают, что если сомножитель то поэтому должен быть степенью неприводимого многочлена. Поскольку содержит одночлены то эта степень должна делить шил. Но тип взаимно просты, а значит, многочлен неприводим.

Докажем теперь утверждение Так как многочлен неприводим, для всех, кроме конечного числа, значений есть различных решений уравнения относительно неизвестной Для каждого из этих значений имеется единственный с точностью до умножения на скаляр собственный вектор для оператора действующего в с собственным значением Мы можем выбрать его так, чтобы его координаты относительно базиса (т. е. производные в нуле) были бы многочленами по и например, можно взять в качестве координат алгебраические дополнения любой строки в матрице Значение в нуле не может быть тождественным нулем, поскольку собственные векторы должны порождать для почти всех Это позволяет нам нормализовать условием для всех, кроме конечного числа, точек Производные будут рациональными функциями от и

Чтобы убедиться в мероморфности функции на представим ее в виде

(Заметим, что целая функция от )

Для доказательства (iii) заметим, что не только (по определению ), но и где формальный степенной ряд, лежащий в поле формальных рядов вида Чтобы убедиться в этом, выберем К, как в § 4, так, чтобы Тогда коммутирует с а значит, является формальным псевдодифференциальным оператором с постоянными коэффициентами, т. е. Применяя обе части этого равенства к получаем так как

Теперь мы принимаем следующую точку зрения. Можно считать, что операторы действуют на векторном пространстве струй функций от х в нуле: другими словами, мы заменяем функции последовательностями Рассмотрим векторное пространство формальных струй, компоненты которых лежат в поле формальных рядов. Оператор действует на и имеет -мерное ядро порожденное струями функций о которых уже говорилось.

(Напомжим, что является многочленом по Формальные ряды вида определяют струи в и струя лежит в Далее, сохраняет другой стороны, мы уже знаем, что единственными собственными векторами оператора в пространстве нормализованными в нуле, являются струи где пробегает корней уравнения которые различны при больших Это доказывает, что Для некоторой точки а значит, что ряды и сходятся при больших

В предыдущем рассуждении роль нуля может играть любая точка Поэтому, если формальная функция Бейкера вычисляется в точке то

(Сомножитель справа возникает потому, что «ормализована условием Пространство определенное по связано с пространством построенным по следующим образом:

Но равно нулю при больших z и поэтому (после растяжения, если это понадобится) определяет элемент у группы Значит, определяют один и тот же мероморфный дифференциальный оператор. Струи его коэффициентов совпадают со струями оператора и в нуле соответственно. Это доказывает (iii).

Замечание (6.12). Мы доказали, что возникает, согласно конструкции Кричевера, из кривой и пучка без кручения 3, пространство сечений которого над -это пространство порожденное . В частности, это доказывает (6.10). Несложно показать, что слой пучка 2 в любой точке ( канонически изоморфен общему -собственному подпространству операторов

Замечание (6.13). Мы верим, что теорема (6.10) «хорошо известна» (кроме, возможно, утверждения о порядке полюсов), но, как нам кажется, наше доказательство является первым полным опубликованным доказательством. Кричевер [10] отмечает, что «большинство» решений (т. е. решения, возникающие из неособых кривых X) стационарных уравнений КдФ глобально

мероморфны; наше доказательство в сущности такое же, за исключением того, что он использует тэта-функции кривой X, а мы используем более общий объект — -функцию (см. § 9 далее). Возможно, было бы интересно дать прямое алгебро-геометрическое доказательство этой теоремы, например с помощью подходящих; «тэта-функций» для особых кривых. Однако мы отметим, что необходимо определять тэта-функции не просто для любой особой: кривой, но для каждой орбиты действия якобиана этой кривош на пространстве максимальных пучков без кручения.