3.7. Скрученные группы петель

Абелевы подгруппы группы которые мы только что описали, являются примерами так называемых скрученных групп петель. Для произвольного автоморфизма а группы G положим

Группа зависит (с точностью до изоморфизма) только от класса автоморфизма а по модулю внутренних автоморфизмов. В самом деле, если

для некоторого то можно выбрать гладкое отображение такое, что и тогда отображение

задает изоморфизм Это значит, что если группа G полупроста, то можно считать, что а принадлежит конечной группе классов внешних автоморфизмов группы в частности, можно считать, что а имеет конечный порядок.

Иным способом можно описать как группу сечений некоторого главного расслоения на со слоем Это расслоение есть факторпространство пространства по отношению эквивалентности, отождествляющему

Теория скрученных групп петель в точности аналогична теории групп петель, но в этой книге мы не будем ею заниматься (см. разд. 5.3). Наша позиция была бы другой, если бы мы могли сказать что-нибудь важное о группах вида для пространств X, отличных от окружности: в этом случае аналоги скрученных групп включали бы группы автоморфизмов главных расслоений на X со структурной группой так называемые калибровочные группы.