2.5. Группы с простыми связями

Имеется класс групп, для которых соотношения (2.4.3) принимают особенйо простой вид: они называются группами с простыми связями. Группа G называется группой с простыми связями, если на есть G-инвариантное скалярное произведение относительно которого все кокорни имеют одинаковую длину. В этом случае мы нормируем скалярное произведение так, чтобы Соответствующее отождествление переводит в а. Унитарная группа и ортогональная группа имеют простые связи; выбранное скалярное произведение имеет вид

для

для где алгебры Ли отождествляются с алгебрами косоэрмитовых (соотв. кососимметрических) матриц. Исключительные группы типа также имеют простые связи. Вообще компактная группа имеет простые связи, если ее алгебра Ли не содержит простых множителей типов или

Для группы с простыми связями скалярное произведение на индуцирует скалярное произведение на целочисленное

на решетке Т:

Более того, число четно для всех Выберем билинейную форму

такую, что

(такая форма В не может быть симметричной). Тогда

(i) корни группы это в точности те векторы а из для которых

(ii) первое соотношение среди соотношений (2.4.3) может быть выбрано в виде

Легко видеть, что различные выборы формы В сводятся просто к замене знаков некоторых из векторов