Глава 14. Формула Каца для характеров и резольвента Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда

Эта глава посвящена формуле Каца для характеров представлений групп петель с положительной энергией. Эта формула — точный аналог формулы Вейля для характеров компактных групп, которую мы описали в разд. 14.2 в качестве введения и мотивировки. В разд. 14.3 методом Каца выписывается и обсуждается формула Каца, а доказывается она в разд. 14.4 методом Каца в варианте, который мы узнали из работы Макдональда [110].

Видимо, есть два способа «понять» эту формулу. Первый — как формулу неподвижных точках», эта точка зрения используется в разд. 14.2. Другой способ, который внешне более сложен, но в конечном счете гораздо плодотворнее, — как выражение для стратификации комплексного однородного пространства выпуклыми множествами, которые нумеруются элементами аффинной группы Вейля. Это приводит к так называемой резольвенте Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда, из которой немедленно получается формула Каца. В разд. 14.5 мы приводим общее описание этой резольвенты и одно-два следствия, которые из нее вытекают, но не доказываем, что она точна. Мы надеемся, что этот компромисс окажется полезным: в существующей литературе, похоже, трудно найти доступное описание аналогичной теоремы даже для компактных групп, а наше изложение полностью содержит этот случай. Мы следовали работе Кемпфа [91], пытаясь упростить ее, насколько возможно. В разд. 14.6 мы описали еще несколько приложений резольвенты Бернштейна — Гельфанда-Гельфанда. В частности, мы вычисляем когомологии алгебры Ли

14.1. Общие замечания о характерах

Характер конечномерного представления V группы это функция на определенная следующим образом: где оператор в V, соответствующий Хорошо известно, что для компактной группы G характер определяет представление с точностью до эквивалентности. Характер — это

функция классов на зависит только от класса сопряженности элемента Если компактная группа Ли, то каждый ее элемент сопряжен некоторому элементу из максимального тора и потому полностью описывается своим ограничением на которое является функцией, инвариантной относительно действия группы Вейля на

Для представлений групп петель с положительной энергией имеется (хотя это может удивить) теория характеров, столь же простая и удобная, как и теория характеров компактных групп. Рассмотрим представления группы где произвольное центральное расширение группы с помощью . У этой группы есть максимальный тор где это прообраз в максимального тора Т в подгруппе G постоянных петель. Конечно, совершенно неверно, что все элементы из сопряжены с элементами из Тем не менее представления группы с положительной энергией с точностью до эквивалентности определяются своим ограничением на : это непосредственно следует из того, что любое неприводимое представление содержит единственный, с точностью до умножения на скаляр, вектор младшего веса, преобразующийся в соответствии с характером группы который однозначно определяет Если представление конечного типа, т. е. каждый его уровень энергии конечномерен, то в его разложении по характерам группы любой характер X встречается с конечной кратностью и потому следующее определение весьма естественно.

Определение (14.1.1). Характер представления это формальная сумма

В этой формуле мы отошли от нашей традиции и различаем линейную форму и гомоморфизм

Такой характер определяет с точностью до эквивалентности.

Формальный характер приобретает аналитический смысл при соответствующей интерпретации. Его можно рассматривать с двух точек зрения. Первая соответствует теории характеров локально компактных групп. Если локально компактная группа, действующая унитарными операторами в гильбертовом пространстве то, как обычно, можно сопоставить сглаженный

оператор каждой гладкой функции с компактным носителем на

где интеграл берется относительно меры Хаара на Если — неприводимое представление, то оказывается оператором со следом, а линейное отображение распределением на которое называется характером-распределением представления

Такое определение характера как распределения не имеет буквального смысла для групп петель, ибо на них нет меры Хаара. Можно попробовать применить это определение к ограничению представления на максимальный тор. Тогда оказывается, что оператор не является оператором со следом для любой гладкой сглаживающей функции но оказывается оператором со следом для вещественно-аналитической Другими словами, характер является не распределением, а некоторой гиперфункцией. Типичный пример характера базисного представления группы изучен в гл. 10. Мы видели, что как формальная сумма характер базисного представления равен

где элементы тора (см. (10.5.3)). Если проинтегрировать по второму экземпляру т. е. выделить коэффициент при то мы получим где

— функция разбиений и коэффициент при это число разбиений числа Эта функция голоморфна при но гиперфункция, которая является ее граничным значением при ведет себя очень плохо, имея «полюс» в каждой рациональной точке окружности.

Более интересный способ рассматривать характер аналитически основан на следующем наблюдении: на однородном пространстве а значит, и на представлениях с положительной энергией действует не только комплексифицированная группа но и полугруппа (Это объяснялось в разд. 7.6 и 8.6.) Унитарные представления группы с положительной энергией оказываются, таким образом, «граничными

значениями» голоморфных представлений полугруппы Операторы, представляющие элементы полугруппы, оказываются операторами со следом, а потому имеется характер — голоморфная функция на Формальный след из определения (14.1.1) — это граничное значение этой голоморфной функции. Мы заметим, что если то оператор представляющий , получается сглаживанием операторов для относительно вещественно-аналитической меры Коши.

на окружности.

Мы не будем развивать далее ни один из аналитических подходов к теории характеров. Одна из причин этого состоит в том, что формальный характер, кажется, пригоден для решения всех практических вопросов. Более серьезная причина — существование аналитического характера в настоящее время выводится из аналитических свойств формального характера. Если бы можно было a priori знать, что операторы Для имеют след, то аналитическая теория стала бы гораздо интереснее.

Заканчивая эти общие замечания, мы отметим один интригующий и таинственный факт. Функция разбиений является модулярной функцией в следующем смысле (ср. разд. 14.3): если

то

Из формулы Каца для характеров следует, что все характеры представлений с положительной энергией групп петель строятся в определенном смысле из модулярных функций. Похоже, что сейчас не известно никакого объяснения этого феномена.