9. Тэта-функция и «тау»-функция

Пусть X — компактная риманова поверхность рода якобиан этой поверхности, т. е. связная компонента единицы группы где О — пучок голоморфных функций на Мы положим и Отображение индуцирует гомоморфизм пучков О в с ядром откуда получается точная последовательность

(фактически ядро равно но мы отождествим его с очевидным образом). Напомним, что это -мерное комплексное пространство, решетка в комплексный тор.

Мы обозначим через единственную эрмитову форму, мнимая часть которой является -билинейным расширением спаривания которое задается индексом пересечения. Мы фиксируем некоторую квадратичную форму такую, что

где индекс пересечения. Тогда тэта-функция поверхности X (см. например, - это голоморфная функция определенная как

Она характеризуется (с точностью до постоянного множителя) функциональным уравнением

Отсюда легко следует, что

(здесь Мы будем использовать то, что это соотношение также характеризует тэта-функцию с точностью до некоторых простых преобразований. Точнее, справедлива

Лемма (9.2). Пусть голоморфная функция, такая, что

для всех и и для некоторой (ненулевой) константы С. Тогда существуют константа -линейное отображение и точка такие, что

Доказательство. Положим

Тогда и ограничение G на дает гомоморфизм Выберем -линейное отображение такое, что для Разлагая на -линейную

-антилинейную части и используя невырожденность формы В, мы получаем, что существуют удовлетворяющие заключению леммы, такие, что

для Положив мы получим для всех значит, голоморфная функция

удовлетворяет функциональному уравнению (9.1), как и тэта-функция, а потому должна получаться из нее умножением на константу. Лемма доказана.

Замечание (9.3). Очевидно, что константа А однозначно определяется по 0. Что касается , то они определены не вполне однозначно, ибо отображение у в доказательстве леммы определено с точностью до прибавления отображения такого, что Однако легко проверить, что это изменяет лишь на элемент решетки, т. е. образ в якобиане определен однозначно. Выбор однозначно определяет -функция — это функция на группе наша следующая задача — объяснить, каким образом мы можем считать, что и тэта-функция зависит от элемента из а потом сравнить их. Мы фиксируем точку и локальный параметр z, как в § 6. Отождествим, пользуясь параметром диском на сфере Римана. Мы обозначим символом V пространство голоморфных отображений -таких, что Как и в § 5, мы отождествим с помощью отображения и будем рассматривать -функцию как функцию на Далее, любую функцию (как, впрочем, любую голоморфную функцию на можно рассматривать как коцикл в когомологиях Чеха где - открытое покрытие поверхности X, описанное в доказательстве (6.1). Снова пользуясь тем, что когомологии поверхности X можно вычислять по любому такому покрытию, получаем сюръективный гомоморфизм

Если теперь К — ядро этого отображения, мы можем рассматривать тэта-функцию как Коинвариантную функцию на Далее, К — это линейное подпространство в V, состоящее из всех функций которые можно записать в виде где ко и голоморфны на соответственно; такое разложение единственно, если нормализовать условием Мы обозначим через V векторное пространство всех таких

Пусть К — ядро композиции оно состоит из всех функций таких, что существует разложение (не обязательно единственное)

где ненулевая голоморфная функция на Ясно, что значит, фактически К — это связная компонента единицы в К, как, собственно, и подобраны обозначения. Далее, в доказательстве предложения (9.10) мы приведем явное описание целочисленного класса когомологий, который соответствует элементу

Теперь мы зафиксируем линейное расслоение 2 степени на X и тривиализацию как в § 6; пусть соответствующее подпространство. Для простоты мы считаем, что трансверсально и что функция нормализована, как обычно, условием Обычно -функция не является К-инвариантной; однако далее мы покажем, что ее простая модификация приобретает такую инвариантность. Мы определим отображение а: полагая где Ко определено в (9.4). Очевидно, что а — гомоморфизм, а его ограничение на является -линейным отображением.

Лемма (9.5). Пусть тогда

где множитель, связывающий действия на расслоении Det (см. (3.6)).

Доказательство. По определению -функции (см. (3.2))

Из определения ясно, что поэтому для Используя это вместе с -эквивариантностью (см. (3.7)), мы получаем

Правая часть формулы (9.6) равна

Подставляя (9.7) в эту формулу и сокращая ненулевой вектор» мы получаем доказательство леммы.

Если применить (9.5) при из К, то получается, что

при всех Продолжим а до -линейного отображения , учитывая, что К порождает V над получаем единственность продолжения и соотношение

для всех Запишем где -линейно, а с антилинейно. Тогда (9.8) дает

для всех Так как -линейно, мы получаем с (Ко) поэтому с, а значит, и эрмитова форма определены на Положим Тогда из (9.5) мы получаем

В частности, ограничение на Ко дает гомоморфизм Выберем -линейное отображение такое, что При положим Тогда для Ко. Поэтому определено на и удовлетворяет уравнению

для Кроме того, справедлив следующий важный результат:

Предложение (9.10). Для всех

где — это классы элементов в группе

Это предложение показывает, что эрмитова форма, встречающаяся в показателе экспоненты в (9.9), в раз больше формы В, участвовавшей в определении тэта-функции. Мы можем поэтому применить (9.2) для получения основного результата этого параграфа.

Теорема (9.11). х-функция связана с тэта-функцией следующим образом:

где А — константа, линейная форма, точка в проекция на

Замечания, (i) Заметим, что квадратичная форма зависит только от

Согласно (9.3), проекция в якобиан однозначно определяется по Если движется под действием одного из потоков движется по соответствующей прямой линии в

Похоже, что нет смысла пытаться определить отображение а более явно, ибо оно зависит от выбора тривиализации (см. (3.8)).

Осталось доказать предложение (9.10). Для этого мы зафиксируем стандартный базис в т. е. такой базис, что а остальные индексы пересечения равны нулю. Теперь мы можем рассматривать риманову поверхность X классическим образом, т. е. как факторпространство многоугольника У с ребрами, расположенными четверками (мы получаем X из , отождествляя два ребра, соответствующие одному элементу из А). Предположим, что выбран так, что диск в X соответствует малому диску во внутренности пусть это дополнение к внутренности Если то где и функции на соответственно. Далее, функция на это означает, что значения в отождествляемых точках двух ребер многоугольника, соответствующих образующей отличаются на целое кратное скажем, на Когомологический класс элемента равен поэтому

где у — базис в двойственный к А.

Далее,

После короткого вычисления мы получаем, что это выражение равно

Так как голоморфные функции на мы можем заменить в этом интеграле границей У. Вклад в интеграл

типичного множества из четырех ребер

можно свести к интегралу по средней паре мы получаем

Суммируя по и пользуясь тем, что матрица пересечений в базисе совпадает с матрицей пересечений в базисе мы видим, что наш интеграл, как и требовалось, равен

Функция Бейкера и тэта-функция

Если сопоставить теорему (9.11) и предложение (5.14), получается формула для функции Бейкера (для подпространства происходящего из римановой поверхности) в терминах тэта-функций. Как мы упоминали во введении, такая формула хорошо известна в русской литературе (см., например, [10], [11], [36]). Однако, возможно, не вполне очевидно, что японская формула (5.14) совпадает с русской; по предложению рецензента мы закончим этот параграф детальным сравнением этих формул.

Русская формула использует классическую тэта-функцию Римана, определение которой зависит от выбора канонического базиса в когомологиях, как в доказательстве предложения (9.10); мы предполагаем в дальнейшем, что такой базис зафиксирован. Классическая тэта-функция — это функция на двойственном пространстве к пространству состоящему из глобальных голоморфных дифференциалов на обычно отождествляется с с помощью базиса

С другой стороны, имеется естественное спаривание

где пучок голоморфных дифференциалов на X, что позволяет канонически отождествить с пространством на котором была определена тэта-функция. В дальнейшем мы будем использовать эти отождествления без

дополнительных комментариев. Выбор базиса в гомологиях дает естественный выбор формы необходимый при нашем определении тэта-функции, а именно, мы можем считать» что равно нулю на элементах базиса в двойственного к Легко проверить, что наша тэта-функция отличается от классической на множитель где симметрическая -билинейная форма на Поэтому, если мы пользуемся классической тэта-функцией, теорема (9.11) остается справедливой, только изменится квадратичная форма. Начиная с этого места, будем через 8 обозначать классическую тэта-функцию.

Теперь мы готовы объяснить, как русская формула связывает функцию Бейкера с тэта-функцией. Мы следуем обзору [36], к которому и отсылаем читателя, интересующегося дополнительными деталями. Следуя Кричеверу, фиксируем неспециальный положительный дивизор на не теряя общности (см. (6.5)), можно считать, что точки лежат вне диска Мы хотим выписать функцию Бейкера , где замыкание пространства аналитических функций на продолжающихся до мероморфных функций на которые регулярны везде, кроме, возможно, точек где допускаются простые полюсы. Мы фиксируем базисную точку в X и обозначим через -соответствующее отображение Абеля:

Отображение А определено лишь по модулю решетки периодов (из-за произвола в выборе пути интегрирования). Пусть постоянный вектор, такой, что функция (многозначная. — Перев.) (на X) обращается в нуль в точности при Для определим сол как дифференциал второго рода с нулевыми -периодами, регулярный везде, кроме где он имеет главную часть Пусть вектор -периодов Рассмотрим выражение

Путь интегрирования в показателе экспоненты тот же, что и для отображения Абеля; легко проверить (см. [36, гл. 3, § 1]), что (9.12) — корректно определенная функция точки Очевидно, что при ограничении на окружность с X функция

(9.12) принадлежит при всех и имеет вид

Чтобы получить функцию Бейкера, осталось разделить (9.12) на что приводит к окончательной формуле

где константы определяются из разложения

При z, близких

Формула (9.13) является глобальной (т. е. может пробегать всю риманову поверхность X). Ограничимся теперь точками из и будем писать z вместо Мы утверждаем, что (9.13) можно отождествить с формулой, получаемой подстановкой (9.11) в (5.14). Заметим сначала, что частное

в (9.13) является функцией вида она происходит из неинтересного линейного члена в формуле из теоремы (9.11). Экспоненциальные члены в (9.13) можно переписать как

и второй сомножитель вносит вклад в (9.13), происходящий из квадратичной формы в (9.11). Чтобы закончить нашу проверку согласованности формул (5.14) и (9.13), осталось проверить две вещи: (i) что векторы соответствующие различным согласуются с векторами в (9.11) (полученными при рассмотрении как коциклов из что разность аргументов двух оставшихся в (9.13) тэта-функций согласована с в (5.14). Для проверки (i) мы используем то, что каноническое спаривание можно получить из спаривания которое определяется формулой

и нужное соотношение сводится теперь к известному факту (см., например, [36, (2.1.21)]). Относительно (ii) заметим, что интересующая нас разность равна

где это отображение Абеля, связанное с базисной точкой Поэтому нам необходим следующий результат.

Лемма (9.14). Пусть это отображение, которое использовалось уже в этом разделе (оно получается, если элемент рассматривать как функцию переклейки и для линейного расслоения на X). Тогда для образ относительно этого отображения равен

Доказательство. Мы запишем в виде

Два сомножителя в этом выражении — это функции переклейки для линейных расслоений, соответствующих дивизорам [5] и . Поэтому образ в якобиане равен т. е.

Наконец, мы отметим, что можно обратить некоторые из приведенных рассуждений и доказать теорему (9.11) сравнением формул (5.14) и (9.13). Эти соображения отмечены в [5] и фактически являются там единственно возможными рассуждениями, ибо в [5] -функция определяется в терминах функции Бейкера формулой (5.14). В нашем контексте имеется независимое определение тета-функции, и нам казалось весьма уместным привести прямое доказательство теоремы (9.11), не использующее функцию Бейкера.