Главная > Группы петель
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

9. Тэта-функция и «тау»-функция

Пусть X — компактная риманова поверхность рода якобиан этой поверхности, т. е. связная компонента единицы группы где О — пучок голоморфных функций на Мы положим и Отображение индуцирует гомоморфизм пучков О в с ядром откуда получается точная последовательность

(фактически ядро равно но мы отождествим его с очевидным образом). Напомним, что это -мерное комплексное пространство, решетка в комплексный тор.

Мы обозначим через единственную эрмитову форму, мнимая часть которой является -билинейным расширением спаривания которое задается индексом пересечения. Мы фиксируем некоторую квадратичную форму такую, что

где индекс пересечения. Тогда тэта-функция поверхности X (см. например, - это голоморфная функция определенная как

Она характеризуется (с точностью до постоянного множителя) функциональным уравнением

Отсюда легко следует, что

(здесь Мы будем использовать то, что это соотношение также характеризует тэта-функцию с точностью до некоторых простых преобразований. Точнее, справедлива

Лемма (9.2). Пусть голоморфная функция, такая, что

для всех и и для некоторой (ненулевой) константы С. Тогда существуют константа -линейное отображение и точка такие, что

Доказательство. Положим

Тогда и ограничение G на дает гомоморфизм Выберем -линейное отображение такое, что для Разлагая на -линейную

-антилинейную части и используя невырожденность формы В, мы получаем, что существуют удовлетворяющие заключению леммы, такие, что

для Положив мы получим для всех значит, голоморфная функция

удовлетворяет функциональному уравнению (9.1), как и тэта-функция, а потому должна получаться из нее умножением на константу. Лемма доказана.

Замечание (9.3). Очевидно, что константа А однозначно определяется по 0. Что касается , то они определены не вполне однозначно, ибо отображение у в доказательстве леммы определено с точностью до прибавления отображения такого, что Однако легко проверить, что это изменяет лишь на элемент решетки, т. е. образ в якобиане определен однозначно. Выбор однозначно определяет -функция — это функция на группе наша следующая задача — объяснить, каким образом мы можем считать, что и тэта-функция зависит от элемента из а потом сравнить их. Мы фиксируем точку и локальный параметр z, как в § 6. Отождествим, пользуясь параметром диском на сфере Римана. Мы обозначим символом V пространство голоморфных отображений -таких, что Как и в § 5, мы отождествим с помощью отображения и будем рассматривать -функцию как функцию на Далее, любую функцию (как, впрочем, любую голоморфную функцию на можно рассматривать как коцикл в когомологиях Чеха где - открытое покрытие поверхности X, описанное в доказательстве (6.1). Снова пользуясь тем, что когомологии поверхности X можно вычислять по любому такому покрытию, получаем сюръективный гомоморфизм

Если теперь К — ядро этого отображения, мы можем рассматривать тэта-функцию как Коинвариантную функцию на Далее, К — это линейное подпространство в V, состоящее из всех функций которые можно записать в виде где ко и голоморфны на соответственно; такое разложение единственно, если нормализовать условием Мы обозначим через V векторное пространство всех таких

Пусть К — ядро композиции оно состоит из всех функций таких, что существует разложение (не обязательно единственное)

где ненулевая голоморфная функция на Ясно, что значит, фактически К — это связная компонента единицы в К, как, собственно, и подобраны обозначения. Далее, в доказательстве предложения (9.10) мы приведем явное описание целочисленного класса когомологий, который соответствует элементу

Теперь мы зафиксируем линейное расслоение 2 степени на X и тривиализацию как в § 6; пусть соответствующее подпространство. Для простоты мы считаем, что трансверсально и что функция нормализована, как обычно, условием Обычно -функция не является К-инвариантной; однако далее мы покажем, что ее простая модификация приобретает такую инвариантность. Мы определим отображение а: полагая где Ко определено в (9.4). Очевидно, что а — гомоморфизм, а его ограничение на является -линейным отображением.

Лемма (9.5). Пусть тогда

где множитель, связывающий действия на расслоении Det (см. (3.6)).

Доказательство. По определению -функции (см. (3.2))

Из определения ясно, что поэтому для Используя это вместе с -эквивариантностью (см. (3.7)), мы получаем

Правая часть формулы (9.6) равна

Подставляя (9.7) в эту формулу и сокращая ненулевой вектор» мы получаем доказательство леммы.

Если применить (9.5) при из К, то получается, что

при всех Продолжим а до -линейного отображения , учитывая, что К порождает V над получаем единственность продолжения и соотношение

для всех Запишем где -линейно, а с антилинейно. Тогда (9.8) дает

для всех Так как -линейно, мы получаем с (Ко) поэтому с, а значит, и эрмитова форма определены на Положим Тогда из (9.5) мы получаем

В частности, ограничение на Ко дает гомоморфизм Выберем -линейное отображение такое, что При положим Тогда для Ко. Поэтому определено на и удовлетворяет уравнению

для Кроме того, справедлив следующий важный результат:

Предложение (9.10). Для всех

где — это классы элементов в группе

Это предложение показывает, что эрмитова форма, встречающаяся в показателе экспоненты в (9.9), в раз больше формы В, участвовавшей в определении тэта-функции. Мы можем поэтому применить (9.2) для получения основного результата этого параграфа.

Теорема (9.11). х-функция связана с тэта-функцией следующим образом:

где А — константа, линейная форма, точка в проекция на

Замечания, (i) Заметим, что квадратичная форма зависит только от

Согласно (9.3), проекция в якобиан однозначно определяется по Если движется под действием одного из потоков движется по соответствующей прямой линии в

Похоже, что нет смысла пытаться определить отображение а более явно, ибо оно зависит от выбора тривиализации (см. (3.8)).

Осталось доказать предложение (9.10). Для этого мы зафиксируем стандартный базис в т. е. такой базис, что а остальные индексы пересечения равны нулю. Теперь мы можем рассматривать риманову поверхность X классическим образом, т. е. как факторпространство многоугольника У с ребрами, расположенными четверками (мы получаем X из , отождествляя два ребра, соответствующие одному элементу из А). Предположим, что выбран так, что диск в X соответствует малому диску во внутренности пусть это дополнение к внутренности Если то где и функции на соответственно. Далее, функция на это означает, что значения в отождествляемых точках двух ребер многоугольника, соответствующих образующей отличаются на целое кратное скажем, на Когомологический класс элемента равен поэтому

где у — базис в двойственный к А.

Далее,

После короткого вычисления мы получаем, что это выражение равно

Так как голоморфные функции на мы можем заменить в этом интеграле границей У. Вклад в интеграл

типичного множества из четырех ребер

можно свести к интегралу по средней паре мы получаем

Суммируя по и пользуясь тем, что матрица пересечений в базисе совпадает с матрицей пересечений в базисе мы видим, что наш интеграл, как и требовалось, равен

Функция Бейкера и тэта-функция

Если сопоставить теорему (9.11) и предложение (5.14), получается формула для функции Бейкера (для подпространства происходящего из римановой поверхности) в терминах тэта-функций. Как мы упоминали во введении, такая формула хорошо известна в русской литературе (см., например, [10], [11], [36]). Однако, возможно, не вполне очевидно, что японская формула (5.14) совпадает с русской; по предложению рецензента мы закончим этот параграф детальным сравнением этих формул.

Русская формула использует классическую тэта-функцию Римана, определение которой зависит от выбора канонического базиса в когомологиях, как в доказательстве предложения (9.10); мы предполагаем в дальнейшем, что такой базис зафиксирован. Классическая тэта-функция — это функция на двойственном пространстве к пространству состоящему из глобальных голоморфных дифференциалов на обычно отождествляется с с помощью базиса

С другой стороны, имеется естественное спаривание

где пучок голоморфных дифференциалов на X, что позволяет канонически отождествить с пространством на котором была определена тэта-функция. В дальнейшем мы будем использовать эти отождествления без

дополнительных комментариев. Выбор базиса в гомологиях дает естественный выбор формы необходимый при нашем определении тэта-функции, а именно, мы можем считать» что равно нулю на элементах базиса в двойственного к Легко проверить, что наша тэта-функция отличается от классической на множитель где симметрическая -билинейная форма на Поэтому, если мы пользуемся классической тэта-функцией, теорема (9.11) остается справедливой, только изменится квадратичная форма. Начиная с этого места, будем через 8 обозначать классическую тэта-функцию.

Теперь мы готовы объяснить, как русская формула связывает функцию Бейкера с тэта-функцией. Мы следуем обзору [36], к которому и отсылаем читателя, интересующегося дополнительными деталями. Следуя Кричеверу, фиксируем неспециальный положительный дивизор на не теряя общности (см. (6.5)), можно считать, что точки лежат вне диска Мы хотим выписать функцию Бейкера , где замыкание пространства аналитических функций на продолжающихся до мероморфных функций на которые регулярны везде, кроме, возможно, точек где допускаются простые полюсы. Мы фиксируем базисную точку в X и обозначим через -соответствующее отображение Абеля:

Отображение А определено лишь по модулю решетки периодов (из-за произвола в выборе пути интегрирования). Пусть постоянный вектор, такой, что функция (многозначная. — Перев.) (на X) обращается в нуль в точности при Для определим сол как дифференциал второго рода с нулевыми -периодами, регулярный везде, кроме где он имеет главную часть Пусть вектор -периодов Рассмотрим выражение

Путь интегрирования в показателе экспоненты тот же, что и для отображения Абеля; легко проверить (см. [36, гл. 3, § 1]), что (9.12) — корректно определенная функция точки Очевидно, что при ограничении на окружность с X функция

(9.12) принадлежит при всех и имеет вид

Чтобы получить функцию Бейкера, осталось разделить (9.12) на что приводит к окончательной формуле

где константы определяются из разложения

При z, близких

Формула (9.13) является глобальной (т. е. может пробегать всю риманову поверхность X). Ограничимся теперь точками из и будем писать z вместо Мы утверждаем, что (9.13) можно отождествить с формулой, получаемой подстановкой (9.11) в (5.14). Заметим сначала, что частное

в (9.13) является функцией вида она происходит из неинтересного линейного члена в формуле из теоремы (9.11). Экспоненциальные члены в (9.13) можно переписать как

и второй сомножитель вносит вклад в (9.13), происходящий из квадратичной формы в (9.11). Чтобы закончить нашу проверку согласованности формул (5.14) и (9.13), осталось проверить две вещи: (i) что векторы соответствующие различным согласуются с векторами в (9.11) (полученными при рассмотрении как коциклов из что разность аргументов двух оставшихся в (9.13) тэта-функций согласована с в (5.14). Для проверки (i) мы используем то, что каноническое спаривание можно получить из спаривания которое определяется формулой

и нужное соотношение сводится теперь к известному факту (см., например, [36, (2.1.21)]). Относительно (ii) заметим, что интересующая нас разность равна

где это отображение Абеля, связанное с базисной точкой Поэтому нам необходим следующий результат.

Лемма (9.14). Пусть это отображение, которое использовалось уже в этом разделе (оно получается, если элемент рассматривать как функцию переклейки и для линейного расслоения на X). Тогда для образ относительно этого отображения равен

Доказательство. Мы запишем в виде

Два сомножителя в этом выражении — это функции переклейки для линейных расслоений, соответствующих дивизорам [5] и . Поэтому образ в якобиане равен т. е.

Наконец, мы отметим, что можно обратить некоторые из приведенных рассуждений и доказать теорему (9.11) сравнением формул (5.14) и (9.13). Эти соображения отмечены в [5] и фактически являются там единственно возможными рассуждениями, ибо в [5] -функция определяется в терминах функции Бейкера формулой (5.14). В нашем контексте имеется независимое определение тета-функции, и нам казалось весьма уместным привести прямое доказательство теоремы (9.11), не использующее функцию Бейкера.

1
Оглавление
email@scask.ru