12.2. Вторая конструкция спинорного представления

Наша следующая цель — описать глобальную, а не инфинитезимальную конструкцию спинорного представления, которая будет обобщаться на бесконечномерный случай. В предыдущем разделе, вводя комплексную структуру на мы представили в виде где -изотропное подпространство в и реализовали спинорное представление на внешней алгебре . В этом пространстве есть каноническая прямая состоящая из кратных единицы во внешней алгебре, т. е. (Обоснования обозначения будут приведены в разд. 12.3.) Если рассматривать пространство представления как модуль над алгеброй Клиффорда то можно описать как единственное «вакуумное состояние» относительно т. е.

Мы могли бы построить 5, отправляясь от любой комплексной структуры на У: это пространство содержит выделенную прямую для любой комплексной структуры. Конструкция, которую мы сейчас опишем, использует существование прямых в качестве отправного пункта.

Начнем с описания основных фактов о пространстве комплексных структур на У. Точкой в по определению является ортогональное преобразование , такое, Любые два оператора можно перевести друг в друга действием ортогональной группы и поэтому можно отождествить с однородным пространством .

С другой стороны, задание эквивалентно заданию изотропного комплексного -мерного подпространства Это означает, что можно рассматривать как комплексное алгебраическое подмногообразие в грассманиане всех -мерных комплексных подпространств в и что на действует комплексифицированная ортогональная группа Мы будем обычно представлять себе точки из как изотропные подпространства, а не как операторы Пространство имеет комплексную размерность и состоит из двух связных компонент комплексная структура на V определяет ориентацию на V, и эти компоненты соответствуют двум выборам ориентации.

Если то график линейного отображения принадлежит (т. е. изотропен), если и только если: кососимметрично:

для всех Эти графики образуют открытое плотное множество в связной компоненте многообразия содержащей образуют атлас для элемент лежит в если и только если Вообще при заданном мы можем представить У в виде где график кососимметричного отображения где (Таким образом,

Очевидно, что пространство У можно связать непрерывной кривой с принадлежит той же связной; компоненте многообразия что и если и только если. четна. Таким образом, справедливо

Предложение (12.2.2). Два пространства лежат в одной связной компоненте если и только если четна.

Пусть элемент А комплексной ортогональной группы записан в виде -матрицы

относительно разложения (Мы будем писать слагаемое в этом разделе первым, так как вакуумный вектор в соответствует а не Предложение (12.2.2) показывает, что А принадлежит связной компоненте единицы в если и только если размерность ядра матрицы а четна»

Если график отображения то лежит в если и только если а обратимый оператор, и в этом случае где

— обязательно кососимметричный оператор. Чтобы убедиться этом, заметим, что это образ отображения

а значит, образ отображения.

или

Мы увидим, и в любом случае это легко следует из формулы (12.2.1), что если спинорное представление реализуется как прямая, соответствующая графику кососимметричного «оператора порождена вектором Здесь мы отождествляем с двойственным пространством к а потому можно рассматривать как элемент из если ортонормированный базис в относительно скалярного произведения заданного формулой (12.1.8), и представлено матрицей в базисах то отождествляется с Нам необходимо следующее важное вычисление.

Предложение 12.2.3. Если то

Здесь необходимо выбрать ветвь квадратного корня, которая равна при или равном нулю. Мы можем уточнить этот результат, используя понятие пфаффиана, которое сейчас кратко напомним.

Детерминант кососимметричной -матрицы равен квадрату многочлена с целыми коэффициентами от элементов матрицы 5. Этот многочлен называется пфаффианом матрицы и обозначается Если нечетно, пфаффиан равен

нулю, а при

где сумма берется по всем перестановкам множества Если отождествить с то

Менее известно, что если и кососимметричные -матрицы, то также равен квадрату многочлена с целыми коэффициентами от элементов матриц 5 и который мы опять обозначим через Кроме того,

где пробегает подмножества множества обозначает кососимметричную подматрицу, составленную из строк и столбцов матрицы с номерами, принадлежащими подмножеству о. Мы докажем эти результаты о пфаффианах в приложении в конце настоящего раздела.

Доказательство (12.2.3). Из определения (12.2.4) непосредственно следует, что

где а пробегает подмножества из при Поэтому предложение (12.2.3) следует из формулы (12.2.5).

Мы можем теперь реконструировать четную часть спинорного представления из прямых, соответствующих точкам в пространстве которые являются графиками кососимметричных операторов Пусть обозначает абстрактное комплексное векторное пространство с базисом, образованным набором символов которые занумерованы операторами Мы определим на скалярное произведение, полагая

Имеется линейное отображение переводящее Оно сохраняет скалярное произведение; в частности, из этого следует, что скалярное произведение на положительно полуопределено. Гильбертово пространство получающееся

пополнением относительно полунормы, определенной этим скалярным произведением, можно автоматически отождествить с подпространством в . В действительности оно совпадает с так как элементы лежат в и порождают его: если четно, то

Если уменьшить используя только те элементы для которых пробегает некоторое открытое множество косоасимметричных матриц, то пополнение не меняется, ибо векторы для продолжают порождать Это видно, если содержит точку это верно также и в случае, если содержит окрестность любой точки так как коммутативная алгебра, в которой обратимый элемент.

Однако, чтобы построить спинорное представление, нам необходимо не только векторное пространство но и проективное действие ортогональной группы на нем. Чтобы задать его, мы начнем с явного описания элементов комплексной спинорной единственной двулистной накрывающей группы

Выберем разложение и обычным образом запишем элементы из как -матрицы

Если и матрица а обратима, то два элемента группы лежащие над А, соответствуют двум ветвям квадратного корня из Но так как может обращаться в нуль, полное описание требует большей аккуратности.

Фиксируем и рассмотрим функцию на пространстве кососимметричных операторов Если мы выберем ортонормированный базис в и рассмотрим как кососимметричную -матрицу, то полиномиален как функция элементов матрицы Мы знаем, что этот определитель обращается в нуль в точности тогда, когда не лежит в открытом множестве из т. е. он тождественно равен нулю, если и не тождественно равен нулю для Если и

то

где при условии, что Основной факт для конструкции это

Предложение (12.2.10). Для вида (12.2.8) функция рассматриваемая как элемент кольца многочленов от элементов матрицы является полным квадратом.

Мы перенесем доказательство в приложение к этому разделу. Оно позволяет нам дать новое конкретное определение спинорной группы.

Определение (12.2.11). Элементом группы является пара где А принадлежит полиномиальная функция на пространстве кососимметричных отображений такая, что

Умножение определяется правилом

Здесь использованы обозначения из (12.2.9). (Заметим, что. рациональная функция элементов матрицы 5.)

Замечания. (i) Если матрица а обратима, то определяется: выбором ветви квадратного корня из

(ii) Стоит отметить, что приведенное выше описание группы; чисто алгебраическое и имеет смысл для ортогональных, групп над любым полем характеристики

После всей подготовки мы можем, наконец, описать спинорное представление. Пусть принадлежит компактной группе Мы определим действие на базисных элементах векторного пространства. полагая

где (Это определение имеет смысл, только если оператор обратим.) Если мы проверим, что

то немедленно получим, что задает унитарное преобразование пополнения которое, как мы знаем, изоморфно Тот факт, что определено не для всех 5, не играет роли, так как мы видели, что если ограничиться матрицами 5 из некоторого открытого подмножества, то пополнением получается то же пространство

Для доказательства (12.2.12) мы должны показать, что

С точностью до множителя ±1, который не может зависеть от или так как обе части равенства -рациональные функции элементов матриц это следует из соотношения

которое в свою очередь следует из цепочки равенств

(Здесь обозначает переход к комплексно сопряженной транспонированной матрице, и мы используем то, что для

Возвращаясь к вопросу о знаке в (12.2.13), заметим, что формула (12.2.13) справедлива, если матрица а обратима, так как обе ее части равны при Но элементы из для которых справедливо (12.2.13), образуют подгруппу, и эта подгруппа должна совпадать со всей группой, так как элементы с обратимой матрицей а образуют окрестность единицы.

Мы закончили построение спинорного представления группы на четной части внешней алгебры максимального изотропного подпространства Осталось задать действие всей группы на так, чтобы элементы с определителем —1 меняли четные и нечетные части. Это несложно, но, как легко заметить, есть два различных способа сделать это в соответствии с тем, что имеется два различных двулистных накрытия группы которые дают накрытие для и можно выбрать любое из них в качестве Различие

между ними состоит в том, какой порядок, 2 или 4, имеют элементы из накрывающие отражения относительно гиперплоскости в V, но два разных способа задать действие нечетных элементов из на отличаются только умножением на Простейший способ распространить это представление на состоит в том, чтобы вложить с помощью соответствия

и заметить, что действует на которое канонически изоморфно

Замечание. Конструкция спинорного представления, которую мы описали, не была чисто алгебраической, так как в ней участвовало пополнение пространства Приведем также чисто алгебраический вариант этой конструкции, который имеет то преимущество, что дает действие всей комплексной группы

Построим наряду с векторное пространство F с базисом, состоящим из символов которые соответствуют кососимметричным отображениям Определим комплексную билинейную форму полагая

Эта форма инвариантна относительно Положим где для всех

Мы закончим этот раздел, возвратившись к отображению которое ставит в соответствие изотропному подпространству в прямую Почти по определению это соответствие на открытом множестве задается отображением Его можно единственным образом продолжить на все эквивариантно относительно Для произвольного подпространства положим и пусть это ортогональное дополнение к (относительно скалярного произведения Легко видеть, что имеет вид где график кососимметричного отображения Пусть базис для Справедливо

Предложение (12.2.14). Прямая ассоциированная с изотропным подпространством содержит

вектор

Доказательство. Можно предполагать, что векторы ортонормированны. Пусть Тогда ортонормированны в Пространство получается из последовательными отражениями -Подпространство соответствует прямой а отражение соответствует клиффордову умножению на Отсюда непосредственно следует предложение (12.2.14).

Из (12.2.14) вытекает, что голоморфное отображение является вложением в проективное пространство состоящее из прямых в чтобы убедиться в его взаимной однозначности, достаточно в силу эквивариантности проверить, что если то

В качестве частного случая предложения (12.2.14) получим следующее. Грассманиан всех комплексных подпространств в можно рассматривать как подмножество в сопоставляя подпространству изотропное подпространство Имеется очевидное вложение Плюккера которое сопоставляет подпространству с базисом прямую, содержащую

Предложение (12.2.15). Вложение при ограничении на совпадает с вложением Плюккера.

Приложение: пфаффианы

Чтобы доказать, что для кососимметричной -матрицы мы начнем с того факта, что существует обратимая матрица такая, что имеет вид где

Отсюда мы получаем, что если (в этом приложении будет удобно различать и , то

где ранг Поэтому, если то при и

при Значит, Но если поэтому

Перейдем теперь к определению где - кососимметричные -матрицы. Достаточно рассмотреть случай четного ибо при нечетном мы можем рассматривать как -матрицы, добавив строку и столбец нулей. Будем считать элементы 5 и переменными, так что элемент кольца многочленов Чтобы доказать, что он является полным квадратом, достаточно доказать это в кольце частных кольца многочленов, ибо оно является юбластью с однозначным разложением на множители. Но в кольце частных мы имеем

и как так и кососимметричны. Квадратный корень из равный единице при обозначается Мы имеем

«чтобы доказать, что

мы покажем сначала, что для кососимметричных

где а — дополнение к а в знак перестановки Формула (12.2.18) справедлива, так как

Для получения (12.2.17) мы применяем (12.2.18) при и используем (12.2.16). Мы должны установить, что

если содержит элементов. Соответствующий результат для определителей хорошо известен он просто выражает в координатах естественность изоморфизма

Знак в (12.2.19) проверяется сначала для на: примере общий случай сводится к этому заменой на где матрица перестановки: мы замечаем, что

Наша последняя задача в этом приложении — доказать предложение (12.2.10), т. е. установить, что многочлен является квадратом в если

— комплексная ортогональная матрица с определителем единица. Ортогональность А влечет за собой кососимметричность Как и раньше, мы предполагаем, что четно. Тогда, если а обратима, то кососимметрична и что, как уже доказано, является полным квадратом. Но из (12.2.9) мы видим, что элементы из для которых -полный квадрат, образуют подгруппу в по обычным соображениям она должна совпадать со всей