8.2. Два приложения разложения Биркгофа

Особенности обыкновенных дифференциальных уравнений

Теорема, которую мы назвали теоремой о разложении Биркгофа, была установлена Биркгофом [11] в 1909 г., когда он изучал особенности дифференциальных уравнений вида

для -значной функции где является заданной функцией со значениями в матрицах размера которая определена и голоморфна в проколотой окрестности нуля а в нуле имеет простой полюс. Задача состоит в том, чтобы «заменами координат», т. е. умножением на голоморфную в -значную функцию привести уравнение (8.2.1) к простейшему виду. Мы используем разложение Биркгофа, чтобы доказать

Предложение (8.2.2). Общее уравнение (8.2.1) можно привести к виду

где К — постоянная матрица.

Точное значение слова «общее» — это выполнение такого условия: вычет при является матрицей, у которой нет различных собственных значений, отличающихся на целое число. Неверно, что любое уравнение вида (8.2.1) можно привести к виду (8.2.3).

Доказательство. Рассмотрим некоторую фундаментальную матрицу X для уравнения (8.2.1), т. е. многозначную аналитическую функцию, определенную в со значениями в удовлетворяющую уравнению Единственное решение уравнения (8.2.1) с начальным условием выражается с помощью X формулой

Фундаментальная матрица единственна с точностью до умножения справа на постоянную обратимую матрицу. Ее многозначность можно описать следующим образом: при обходе 2 вокруг нуля против часовой стрелки умножается справа на матрицу которая называется матрицей монодромии. Более точное утверждение состоит в следующем: существует

единственная голоморфная функция X, определенная на множестве

такая, что и

Заметим, что решение уравнения (8.2.3) дается формулой

Итак, зафиксируем некоторую матрицу X для (8.2.1), а затем выберем К, такое, что Функция

является однозначной и голоморфной функцией Ее ограничение на малую окружность лежащую в определяет петлю со значениями в . Биркгоф доказал, правда, не вполне корректно, что в случае общей матрицы А при подходящем выборе матрицы К эта петля допускает разложение где голоморфна в голоморфна на всей римановой сфере, за исключением нуля. (Изначально можно считать, что голоморфны для и для соответственно; но тогда они оказываются автоматически голоморфными в области голоморфности У.) Мы можем считать также, что

Положим Тогда удовлетворяет уравнению где

Поэтому матрица А является голоморфной в и имеет полюс первого порядка в нуле. Но следовательно,

Это показывает, что А голоморфна на всей римановой сфере, за исключением нуля. Матрица имеет вид поэтому при при Теорема Лиувилля оставляет для А единственную возможность: (Фактически это доказывает также, что для всех

Не имеет смысла пытаться подправить рассуждение Биркгофа, имеющее лишь исторический интерес. Простейший способ доказательства предложения (8.2.2) не использует теоремы о разложении: лучше прямо доказать, что при подходящем

выборе К отображение голоморфно продолжается на Полное обсуждение этого вопроса содержится в статье [148].

Классификация голоморфных векторных расслоений на римановой сфере

Лучшее из известных приложений — в действительности разумнее было бы назвать его переформулировкой теоремы Биркгофа состоит в классификации голоморфных векторных расслоений на римановой сфере Впервые это приложение было отмечено Гротендиком [69].

Представим в виде где Самое очевидное расслоение на это линейное расслоение полученное склеиванием с помощью отображения

Имеются также тензорные степени для любого с функцией переклейки

(Если рассматривать как комплексное проективное пространство точками которого являются прямые в то это «расслоение Хопфа», слоем которого в точке является сама прямая Следующее утверждение эквивалентно теореме Биркгофа.

Предложение (8.2.4). Любое векторное расслоение на изоморфно прямой сумме где набор целых чисел определен однозначно с точностью до перестановки.

Доказательство. Ограничения на и на тривиальны, так как и являются многообразиями Штейна [66]. Поэтому получается склеиванием и с помощью голоморфной функции

По теореме Биркгофа (8.1.2) мы можем разложить у в произведение где голоморфны в соответственно, а является гомоморфизмом. Изменив координаты с помощью и в с помощью видим, что можно получить, выбирая X в качестве функции переклейки. А расслоение, определяемое с помощью X, совпадает с