8.10. «Омега-G» и голоморфные расслоения

Теоремы о разложении для петель дают нам описание точек из как голоморфных расслоений на сфере Римана (Мы будем писать где

Предложение (8.10.1). Точка из это класс изоморфизма пар где голоморфное главное -расслоение на его тривиализация над А». Страт, которому принадлежит в смысле (8.6.5), — это класс изоморфизма расслоения.

Слова «тривиализация над означают здесь гладкое сечение ограничения голоморфное над внутренностью множества

Доказательство (8.10.1). Пусть дана пара выберем тривиализацию для Функция перехода между над задает петлю из Произвол в выборе это умножение на элемент из что дает нам элемент из

Обратно, мы можем разложить в произведение где гомоморфизм. Так как отображение продолжается до голоморфного отображения оно определяет голоморфное расслоение на (см. разд. 8.2), которое канонически тривиализовано над и над Мы сопоставим у пару где каноническая тривиализация для

Комплексное многообразие X однозначно определяется, если для любого комплексного многообразия известно множество голоморфных отображений В частности, слегка обобщая предложение (8.10.1), можно получить следующее описание комплексного многообразия (наше внимание к этому описанию привлек Атья (см.

Предложение (8.10.2). Голоморфное отображение для любого комплексного многообразия это класс изоморфизма пар где голоморфное главное расслоение на тривиализация ограничения

Доказательство. Пусть задана пара Согласно (8.10.1), знаем, что определяет отображение Мы должны показать, что голоморфно. В самом деле, для любого можно считать тривиальным над некоторым множеством вида где V — некоторая окрестность точки множество для некоторого Тогда можно представить как функцию перехода

жду и тривиализацией над Она является гладким отображением

которое голоморфно для Ограничение этого отображения на дает голоморфное отображение которое мы и хотели построить.

Обратно, чтобы получить пару из отображения достаточно определить пару над Определение в категории гладких расслоений очевидно: оно получается склеиванием тривиальных расслоений на и с помощью склеивающей функции, которая задается отображением вычисления Полученное расслоение канонически тривиализовано над Если считать пространством вещественно-аналитических петель, то ясно, что. голоморфное расслоение, и доказательство завершается, ибо в этом случае можно продолжить до голоморфного отображения где подходящие открытые окрестности для и Случай гладких петель требует дополнительной работы.

Напомним (см. (8.6.3)), что покрыто открытыми множествами такими, что как комплексное многообразие, и Следовательно, состоит из голоморфных отображений Композиция проекции и отображения вычисления дает голоморфное отображение которое определяет голоморфное расслоение над Из предложения (8.6.3) следует, что канонически изоморфно в категории гладких расслоений. Кроме того, набор расслоений определяет голоморфное расслоение на потому что, как легко видеть, канонический гладкий изоморфизм между и ограниченными на голоморфен для и для , а значит, и для всех z.

Если компактно, то тривиализация ограничения единственна с точностью до действия элементов из -ибо любое голоморфное отображение -константа. Таким образом, мы получили

Предложение (8.10.3). Пусть компактное комплексное многообразие с отмеченной точкой то. Тогда множество голоморфных отображений переводящих в 1, можно отождествить с множеством классов изоморфизма -расслоений на тривиальных над и над

Этот результат является отправной точкой для серии интересных идей, за которыми мы отсылаем читателя к статье Атьи

[5]. Здесь же мы ограничимся тем, что отметим одно непосредственное следствие.

Предложение (8.10.4). Пусть компактное многообразие с отмеченной точкой. Тогда каждая связная компонента пространства голоморфных отображений сохраняющих отмеченную точку, конечномерна.

Это следует из предложения (8.10.3), так как пространство голоморфных расслоений фиксированного топологического типа на компактном многообразии конечномерно (см. [119]).

Предложение (8.10.4) демонстрирует удивительное различие между пространствами или и более привычными бесконечномерными комплексными многообразиями, такими, как проективное пространство или грассманиан из гл. 7. Например, если представляет отмеченную точку в то

является семейством сохраняющих отмеченную точку голоморфных отображений которое параметризуется пространством ненулевых векторов ортогональных к Аналогичное семейство можно определить и для