Глава 7. Грассманиан гильбертова пространства и детерминантное линейное расслоение

Поскольку мы изучаем группы петель, рассматривая их как группы операторов в гильбертовом пространстве, нам понадобится довольно детальная информация о структуре грассманиана гильбертова пространства. Этому предмету посвящена настоящая глава. Наиболее важной ее частью является конструкция детерминантного линейного расслоения в разд. 7.7; читатель, заинтересованный в ней, может опустить все между разд. 7.1 и 7.7, за исключением определения допустимого базиса, из разд. 7.5.

7.1. Определение грассманиана Gr(H)

Пусть сепарабельное гильбертово пространство с заданной поляризацией мы предполагаем, что и —бесконечномерные ортогональные замкнутые подпространства. Будем изучать грассманиан замкнутых подпространств в «сравнимых» по размеру с Прежде чем давать формальное определение этого класса подпространств, разъясним, что они образуют пополнение класса подпространств соизмеримых с т. е. таких, что имеет конечную коразмерность как в так и в Они могут, однако, иметь нулевое пересечение с например, в их число входит график произвольного оператора Гильберта — Шмидта хотя соизмеримо с лишь если Т имеет конечный ранг.

Определение (7.1.1). есть множество всех замкнутых подпространств таких, что

(i) ортогональная проекция является оператором Фредгольма и

(ii) ортогональная проекция является оператором Гильберта — Шмидта.

Операторы Фредгольма и Гильберта — Шмидта уже обсуждались в разд. 6.2. Напомним, что ограниченный оператор является фредгольмовым, если его ядро и коядро конечномерны..

Иным образом определение (7.1.1) можно сформулировать так: принадлежит если оно является образом оператора такого, что до — оператор Фредгольма, а оператор Гильберта — Шмидта. Так как сумма оператора Фредгольма и оператора Гильберта — Шмидта является оператором Фредгольма, мы получаем, что если лежит в то график каждого оператора Гильберта-Шмидта также принадлежит Эти графики образуют подмножество состоящее из всех для которых ортогональная проекция является изоморфизмом; оно находится во взаимно однозначном соответствии с гильбертовым пространством операторов Гильберта — Шмидта . В действительности имеет место

Предложение (7.1.2). является гильбертовым многообразием, моделируемым пространством

Для доказательства нам понадобится еще одно наблюдение. Группа введенная в разд. 6.2, действует на множестве Справедлив такой результат.

Предложение (7.1.3). Подгруппа группы действует на транзитивно, причем стабилизатор подпространства есть

Доказательство (7.1.3). Пусть мы найдем такой, что Пусть изометрия с образом изометрия с образом Тогда

есть унитарное преобразование А, такое, что Запишем его в виде

Поскольку принадлежит мы знаем, что оператор Фредгольма, а — оператор Гильберта — Шмидта. Но из унитарности А вытекает, что также оператор Гильберта — Шмидта (так как и поэтому А лежит в

Утверждение о стабилизаторе подпространства очевидно.

Доказательство (7.1.2). Пусть описанные выше подмножества в соответствующие гильбертовым пространствам

Пусть

соответствует подмножеству и подмножеству Мы должны показать, что открытые множества и что «замена координат» является гладкой.

Пусть матрица тождественного преобразования

имеет вид

(т. е. а есть отображение ). Из доказательства (7.1.3) мы знаем, что операторы Фредгольма, а и с — операторы Гильберта — Шмидта. Предположим, что подпространство одновременно является графиком операторов и . Тогда операторы

из должны совпадать, где некоторый изоморфизм Отсюда вытекает, что

Таким образом, является голоморфной функцией от на открытом множестве

Для подпространства соизмеримого с естественно определить его виртуальную размерность относительно как

Обобщением этого для произвольного является индекс перпендикулярной проекции т. е.

Эквивалентным образом,

Очевидно, что пространства разной виртуальной размерности лежат в различных связных компонентах На самом деле подпространства данной виртуальной размерности образуют связное множество; например, мы вскоре увидим, что подпространства виртуальной размерности нуль образуют замыкание

координатной окрестности, состоящей из графиков всех операторов Гильберта — Шмидта Отметим также, что если

лежит в то

где индекс оператора Фредгольма а.

Для дальнейшего продвижения введем в ортонормированный базис. Это сводится к отождествлению с пространством обладающим естественным базисом (как обычно, Тогда в есть семейство специальных точек это замкнутое подпространство, порожденное элементами при где — подмножество в отличающееся от множества натуральных чисел на конечное подмножество (т. е. ограничено снизу и содержит все достаточно большие целые числа). Семейство всех таких множеств будем обозначать через . Отметим, что

Мы будем называть это число виртуальной мощностью множества

Предложение (7.1.6). Для каждого имеется множество такое, что ортогональная проекция есть изоморфизм. Иными словами, множества где образуют открытое покрытие пространства

Доказательство. Поскольку проекция имеет конечномерное ядро, существует такое, что проекция инъективна. Если она не сюръективна, то ее образ не содержит элемента для некоторого Тогда проекция где по-прежнему инъективна. Повторяя это конечное число раз, мы получим требуемое множество

У нас есть теперь весьма явные координатные карты на нумерующиеся с помощью . Точка карты это график оператора Гильберта — Шмидта она представляется -матрицей, где Переходы между картами даются формулой (7.1.5), где матрица (7.1.4) есть матрица перестановки; в частности, у компонент и с лишь конечное число ненулевых элементов.