10.5. Тройное тождество Якоби

В этой главе мы уже установили изоморфизм гильбертовых пространств

где копия соответствующая связной компоненте грассманиана. По построению этот изоморфизм согласован с действием на этих двух пространствах, а также с действием определенным вращением функций на окружности. Рассмотрим разложение пространств (10.5.1) под действием абелевой подгруппы в (Левая буква это группа поворотов а правая буква Т обозначает постоянные петли со значениями в группе которая рассматривается как подгруппа

Мы отмечали в гл. 2, что если компактная группа К непрерывно действует на полном топологическом векторном пространстве обозначает подпространство в на котором К действует неприводимым представлением то алгебраическая прямая сумма образует плотное подпространство в Если размерность конечна для любого то формальная сумма где кратность в называется (формальным) характером пространства Если К абелева, то неприводимые представления одномерны и

Напишем формальный характер для левой и правой частей (10.5.1). Мы будем обозначать представление группы через Тогда характер пространства очевидно, равен а характер пространства равен Для вычисления характеров

внешней и симметрической алгебр мы имеем следующий очевидный результат.

Предложение (10.5.2). Если векторное пространство является конечной суммой одномерных представлений группы К, то характер пространства равен характер пространства равен

Это утверждение верно и в случае, когда бесконечномерно, если выражения для характеров имеют смысл. Пусть К — тор, характеры которого образуют решетку тогда это предложение справедливо, если характеры встречающиеся в принадлежат положительному выпуклому конусу в Именно этот случай реализуется в наших примерах.

Итак, характер пространства равен

С другой стороны, окружность, состоящая из постоянных петель, действует на умножением на а окружность поворотов действует на А как (имеется в виду характер действия группы поворотов на А. — Перев.) и, следовательно, на — как а на как (см.

Изоморфизм (10.5.1) дает

или, что эквивалентно, если заменить на ,

или

где

характер -мерного представления группы

Тождество (10.5.4), или (10.5.5), называют тройным тождеством Якоби. Его несложно доказать непосредственно (см. [71». 19.9]). Формула, которая получается при и — 1, заслуживает отдельного упоминания:

Тождество (10.5.5) — это простейший случай более общей формулы, называемой тождеством Макдональда [107], которую мы будем обсуждать в гл. 14. Общая формула связана с компактной полупростой группой а (10.5.5) соответствует случаю обобщение формулы (10.5.6) имеет вид

где суммирование ведется по всем неприводимым представлениям группы -размерность размерность — значение подходящим образом нормализованного оператора Казимира в представлении или 0.

С современной точки зрения роль в (10.5.5) остается загадочной.

Если мы рассмотрим подпространство в (10.5.1), на котором постоянные петли действуют тривиально, то получим изоморфизм

Характер пространства как представления группы поворотов равен

где сумма распространяется на все наборы из чисел, такие, что Как легко убедиться индукцией эта сумма равна

Аналогично, характер пространства равен

Таким образом, из (10.5.7) можно извлечь другое хорошо известное, но не вполне очевидное тождество (ср. [71, 19.7]):

Функция в левой части называется функцией разбиений, так как может быть записана в виде где число разбиений числа Комбинаторная интерпретация тождества (10.5.8), как объясняется в [71], — это просто тот факт, который мы уже отмечали, а именно, что разбиения взаимно однозначно соответствуют парам конечных последовательностей