4.10. Расширения группы Map(X; G)

Для общего компактного многообразия X группа не является ни связной, ни односвязной (если , то группа компонент группы есть группа и Хирцебруха [3], а ее фундаментальная группа есть Обозначим через односвязную накрывающую группу группы следует представлять себе, что ее получают из последовательно убивая группы По

Предложение (4.10.1). (i) Если группа G односвязна, то имеется каноническое центральное расширение группы такое, что .

(ii) Группа есть универсальное центральное расширение группы а ее алгебра Ли — это универсальное

центральное расширение алгебры Ли описанное в разд. 4.2.

(iii) Если группа G проста, то ядро этого расширения есть пространство -форм на X по модулю -форм с целочисленными периодами.

Доказательство. Мы можем считать группу G простой. Обозначим через А требуемое ядро Заметим, что алгебра Ли группы А есть векторное пространство из предложения (4.2.8). Используя (4.4.2), нам достаточно задать замкнутую -форму на со значениями в такую, что интеграл от по любому -циклу в принадлежит Такая форма на задается -коциклом на алгебре Ли определяемым формулой (см. (4.2.9)). Условие целочисленности выполняется, поскольку для каждого гладкого отображения вещественнозначная -форма на является обратным образом целочисленной формы на

Универсальность расширения и обращение в нуль группы доказываются точно так же, как для групп петель.

Расширение Микельссона — Фаддеева

Помимо центральных расширений у группы есть другое, в принципе более элементарное, расширение, недавно привлекшее к себе внимание в квантовой теории поля. Оно было введено Микельссоном [112], Фаддеевым [41] и другими (см. также [138] и [157]).

Заметим сначала, что если произвольная группа Ли, произвольный класс когомологий, инвариантный относительно левых сдвигов на элементы группы (это автоматически так, если связна), то имеется единственное гладкое расслоение У над со слоем окружность, классом Чженя которого является с. С связывается расширение группы с помощью абелевой группы гладких отображений Элементы группы это гладкие Т-эквивариантные отображения накрывающие левые сдвиги на элементы Если замкнутая -форма на представляющая класс с, то расширение алгебр Ли, соответствующее определяется коциклом

со значениями в векторном пространстве гладких вещественно-значных функций на (здесь элементы алгебры Ли группы рассматриваются как левоинвариантные векторные поля на Так определенное расширение группы не является центральным расширением: группа естественным образом действует на ядре

Когда группа есть для некоторого -мерного многообразия X, мы можем получить расширение такого вида, выбирая произвольный элемент в беря его обратный -образ на и интегрируя его по

Предположим теперь, что задано произвольное главное -рас-слоение Для каждого левоинвариантного можно найти -форму а на ограничение которой на каждый слой расслоения замкнуто и представляет класс с. Предшествующее обсуждение можно обобщить, что дает

Предложение (4.10.2). Предположим, что группа связна и односвязна. Тогда с классом с естественно ассоциируется расширение группы с помощью Соответствующее расширение алгебр Ли определяется коциклом векторные поля на соответствующие элементам алгебры Ли группы

Доказательство. Следуя методу разд. 4.4, нам достаточно определить отображение

обладающее свойствами и из разд. 4.4 и эквивариантное относительно Для каждой петли в и точки определим как где а — произвольный кусок поверхности в слое границей которой является петля

Замечания, (i) Предположение об односвязности в предложении (4.10.2) излишне, если с является трансгрессией некоторого элемента группы где классифицирующее пространство группы

(ii) Если связно и односвязно, то ядро имеет гомотопический тип окружности, и наше расширение гомотопически есть просто расслоение со слоем окружность, соответствующее классу

В квантовой теории поля интерес представляет случай, когда есть стягиваемое пространство связностей в главном G-расслоении на ориентируемом -многообразии X, а

Класс с строится, исходя из элемента группы определяемого с помощью инвариантной трилинейной формы на Если G-расслоение на X тривиально, т. е. , то соответствующий коцикл на алгебре Ли сопоставляет элементам функцию