3.2. Группы отображений как бесконечномерные группы Ли

Бесконечномерная группа Ли — это группа являющаяся в то же время бесконечномерным гладким многообразием и такая, что закон умножения и взятие обратного элемента задаются гладкими отображениями. Ее алгебра Ли — это касательное пространство к в единице, а скобка определяется при помощи отождествления касательных векторов в единице с левоинвариантными векторными полями на Экспоненциальное отображение определено, если для каждого элемента алгебры Ли имеется единственная однопараметрическая подгруппа такая, что Это так во всех известных примерах.

Для бесконечномерных групп Ли, моделируемых банаховыми пространствами, имеется развитая теория ([20, гл. III]), во многом параллельная теории конечномерных групп Ли. Для групп, моделируемых более общими топологическими векторными пространствами, такой теории нет, и большинство стандартных теорем о группах Ли не выполняется. Нам встретятся интересные примеры алгебр Ли, не соответствующих никакой группе Ли, и групп Ли, в которых экспоненциальное отображение не является локально биективным. Мы надеемся тем не менее продемонстрировать полезность понятия общей бесконечномерной группы Ли.

По-видимому, простейшим и самым напрашивающимся примером бесконечномерной группы Ли является группа

всех непрерывных отображений компактного пространства X в конечномерную группу Ли закон, разумеется, есть поточечное умножение в Естественной топологией на является топология равномерной сходимости. Структура гладкого многообразия получается следующим образом.

Если открытая окрестность единичного элемента в группе гомеоморфная (гомеоморфизм осуществляется экспоненциальным отображением) открытому множеству О в алгебре Ли группы то есть открытая окрестность единицы в гомеоморфная открытому множеству в банаховом пространстве Если произвольный элемент группы то есть окрестность элемента также гомеоморфная Множества образуют атлас, превращающий в гладкое многообразие и в группу Ли: проверка того, что функции перехода гладкие или что умножение и взятие обратного — гладкие отображения, не вызывает затруднений.

В этой книге, однако, мы будем заниматься группами гладких, а не непрерывных отображений.

Предположим теперь, что X — конечномерное компактное гладкое многообразие, и обозначим через группу всех гладких отображений Нас в основном интересует случай, когда X — это окружность в этом случае есть группа петель группы обозначаемая Мы будем представлять себе окружность состоящей из вещественных чисел 6, взятых по модулю или, взаимозаменяемым образом, из комплексных чисел с модулем один.

Определив атлас так же, как в непрерывном случае, мы получим, что множество открыто в векторном пространстве всех гладких отображений Простейший способ ввести топологию на состоит в том, чтобы потребовать, чтобы все множества были открытыми и гомеоморфными открытому множеству Стандартная топология на это топология равномерной сходимости функций и их частных производных всех порядков [70]. Она превращает в полное сепарабельное метризуемое топологическое векторное пространство, но не в банахово пространство. Мы не будем здесь описывать его подробней. В случае когда X — окружность, сходимость последовательности в к означает, что последовательность равномерно сходится к для всех Проверка того, что является бесконечномерной группой Ли, снова не вызывает затруднений.

Для большинства целей этой книги не было бы разницы, если бы вместо гладких отображений мы рассматривали отображения данного конечного порядка дифференцируемости. В этом случае была бы банаховой группой Ли (нам пришлось бы интерпретировать -отображения по Соболеву [144], иначе на нашем многообразии не нашлось бы достаточного количества гладких функций). Эта замена, однако, не дала бы никаких практических преимуществ, поэтому мы будем держаться гладких отображений, что кажется более эстетически привлекательным. Таким образом, всегда будет обозначать гладкие отображения, группу гладких петель. В случае групп диффеоморфизмов, как мы увидим, не остается другого выбора помимо работы с гладкими отображениями.

Алгебра Ли группы очевидно, есть причем экспоненциальное отображение

определено и является локальным гомеоморфизмом вблизи единицы. Один из наших лейтмотивов — то что группа петель компактной группы ведет себя удивительно похоже на саму компактную группу, но сначала мы укажем незначительное отличие. В компактной группе G каждый элемент из компоненты единицы лежит в некоторой однопараметрической подгруппе, т. е. экспоненциальное отображение сюръективно. Это свойство не наследуется группой

Пример. Рассмотрим группу для Тогда G односвязна, так что связна. Элемент у группы определенный формулой

не лежит ни в какой однопараметрической подгруппе. В самом деле, если бы у равнялся для некоторого то должен был бы коммутировать с а значит, быть диагональным, но на окружности не существует гладкой функции в, такой, что Отметим, что этот пример в точности аналогичен несюръективности экспоненты для конечномерных некомпактных групп: элемент

группы не лежит ни в какой однопараметрической подгруппе. Легко видеть, однако, что если группа G компактна, то

образ экспоненциального отображения плотен в компоненте единицы в Это неверно в группах типа

Другое очевидное, но важное замечание о группах отображений состоит в том, что если G имеет комплексификацию то имеет комплексификацию Ясно, что последняя группа является комплексной группой Ли.