11.2. Разложение представлений: полная приводимость

В этом разделе мы докажем, что все представления групп петель являются по существу суммами представлений того типа, который обсуждался в предыдущем разделе.

Начнем с произвольного гладкого представления положительной энергии. Если гладкий вектор разлагается как. в соответствии с «энергией», так что то каждая компонента — тоже гладкий вектор, так как ее можно» представить в виде

и так как производная по непрерывна по . Из этого следует, что гладкие векторы плотны в каждом подпространстве

Антидвойственное представление также обладает положительной энергией; фактически антидвойственно к Мы можем также предполагать, что минимальная энергия, встречающаяся в равна нулю. Тогда представление компактной группы Выберем вектор младшего веса для он будет обладать определенным весом к относительно тора Т в Используя мы можем определить отображение из в пространство непрерывных сечений линейного расслоения на которое изучалось в предыдущем разделе. Элементу мы сопоставляем заданное как

Лемма (11.2.2). Сечение является голоморфным сечением

Доказательство. Предположим сначала, что гладкий вектор. Тогда сечение гладко. Мы утверждаем, что его производная комплексно-линейна. Из формулы (11.2.1) и однородности комплексной структуры на следует, что достаточно рассмотреть производную в отмеченной точке. Это отображение

переводящее Мы должны показать, что когда оно продолжается до комплексно-линейного отображения

то обращается в нуль на Но обращается в нуль на при поэтому если . А если то так как вектор младшего веса для G и потому аннулируется элементами Поэтому голоморфно, если гладкий вектор.

Наконец, заметим, что непрерывное отображение из в пространство непрерывных сечений с компактно-открытой топологией. А голоморфные сечения образуют в этом пространстве замкнутое подпространство, и потому из голоморфности при принадлежащем плотному подмножеству гладких векторов, следует, что голоморфно при всех

Для любого вектора младшего веса с весом А. мы получили непрерывное отображение Но мы знаем из разд. 11.1, что неприводимо, а значит, по лемме Шура получаем, что справедлива

Теорема (11.2.3). Любое неприводимое представление группы существенно эквивалентно некоторому

Чтобы разложить представление которое не является неприводимым, мы хотели бы определить отображения из наших стандартных неприводимых представлений в Это легко сделать. Мы знаем, что гладкие векторы в образуют плотное подпространство, инвариантное относительно действия Выберем гладкий вектор который является вектором младшего веса для Тогда можно определить отображение такой же формулой, как (11.2.1), т. е. где (Теперь, впрочем, — это вес Доказательство голоморфно, в этом случае чуть легче, так как. очевидно, гладко для всех Двойственное к отображению это

отображение

Если канонический циклический вектор в (см. разд. 11.1), то .

Замечание (11.2.4). Сейчас мы доказали предложение так как если циклический вектор для то должно быть, существенной эквивалентностью по лемме Шура, и в конструкции мы не использовали никаких свойств или кроме того, что гладкий вектор, аннулируемый

Если рассмотреть композицию то результирующее отображение должно переводить инвариантное сечение. Беря его значение в отмеченной точке, получаем, что отображается в где каноническое сечение (Мы предполагаем здесь, что имеют одинаковый вес.) Если начать с вектора младшего веса то всегда можно выбрать вектор младшего веса тем же весом, такой, что Тогда композиция это существенная эквивалентность, описанная в разд. 11.1. Если — замкнутое подпространство в порожденное — ядро то существенно. эквивалентно плотно в (Фактически, так как пространство конечного типа, то для всех Выбирая вектор младшего веса и повторяя те же рассуждения, мы получаем

Предложение (11.2.5). Любое представление группы конечного типа существенно эквивалентно сумме неприводимых представлений вида

Для доказательства откуда остаток теоремы (9.3.1) немедленно следует с учетом известных свойств — мы должны только избавиться от ограничения, что представление в предложении (11.2.5) должно быть представлением конечного типа. Сейчас мы объясним, как это можно проделать.

Самое главное заметить, что если к — младший вес, встречающийся в то от можно отщепить изотипическую часть, типа Этого достаточно, так как можно предполагать, что представление имеет фиксированный уровень а значит, возможные значения к образуют счетное множество, в котором для любой энергии имеется лишь конечное число к, таких, что

Пусть к обладает минимальной — скажем, нулевой — энергией в и является вектором младшего веса для Пусть

соответствующее весовое пространство. Имеется естественный -инвариантный оператор проектирования который можно считать также антилинейным отображением Пусть обозначает однородное голоморфное векторное расслоение на У со слоем А, и пусть Гл обозначает его пространство голоморфных сечений. Тогда наша стандартная формула где определяет отображение яд:

Обратно, для любого гладкого вектора мы имеем отображение Оно антилинейно зависит от и мы можем, собирая все отображения вместе, определить

Доказательство заканчивается, как раньше, если мы покажем, что композиция

инъективна и имеет плотный образ. Инъективность очевидна, так как ее необходимо проверить только для конечномерных подпространств в А. Плотность образа следует аналогичным образом из стандартного замечания, состоящего в том, что плотно в Гл, если В пробегает все конечномерные подпространства в А.