10.6. Базисные представления групп LUn и LSUn

Группа петель действует на гильбертовом пространстве операторами умножения, и мы видели в разд. 6.3, что она содержится в Кроме того (ср. 6.7.1), центральное расширение индуцирует базисное расширение группы Мы можем ограничить фундаментальное представление группы так, чтобы получить унитарное представление группы на уровня 1. Оно называется базисным представлением группы и неприводимо, так как мы видели, что оно неприводимо даже как представление группы где обозначает максимальную абелеву подгруппу в полученную, как в разд. 6.5, отождествлением Базисное представление — это единственное представление группы уровня разд. 9.3.

В этом разделе мы будем писать вместо когда мы рассматриваем как базисное представление группы

Рассмотрим разложение относительно подгруппы Мы знаем, что относительно связной компоненты единицы группы пространство распадается в сумму в соответствии с разложением грассманиана на связные компоненты. Петли с числом вращения отображают в Далее, -кратное накрытие

где центр индуцирует -кратное накрытие связных компонент единицы

(Отметим, что это отображение совсем другое отображение, чем вложение в в качестве максимальной абелевой подгруппы, которое упоминалось выше.)

Предложение (10.6.1). Каждое подпространство — это неприводимое представление группы и оно распадается в тензорное произведение:

где неприводимое представление группы уровня которое зависит лишь от класса вычетов числа по модулю неприводимое представление группы уровня на. котором константы действуют умножением на Центр также действует на умножением на и

Мы ненадолго отложим доказательство этого предложения: и обсудим вместо этого его значение. Группа может быть записана как (см. разд. 10.4), где V — векторное пространство. Расширение это Группа Гейзенберга V обладает единственным представлением с положительной энергией для любого уровня (см. (9.5.10)), и — это со следующим действием Представления всей группы индуцированы представлениями есть представлений уровня где

Мы можем переформулировать (10.6.1) следующим образом.

Предложение (10.6.2). Под действием базисное представление разлагается на частей

где — неприводимые представления группы уровня — неприводимые представления группы уровня 1.

В этой формулировке предложение (10.6.2) допускает очень красивое обобщение, которое сообщил нам Френкель. Мы сформулируем его без доказательства. Напомним сначала (см. разд. 9.3), что есть представлений уровня 1, занумерованные последовательностями такими, что

У группы имеется такое же число нелриводимых представлений уровня которые занумерованы последовательностями такими, что

Последовательности и переходят друг в друга при известной операции сопряжения разбиений [108]. Рассмотрим теперь гомоморфизм

полученный поточечным тензорным умножением матриц. Справедливо

Предложение (10.6.4). Под действием базисное лредставление группы распадается в сумму

где представления группы уровня представления группы уровня

Эта теорема, доказанная Френкелем ([46], [48]) с помощью формулы для характера, делается более интересной в свете следующего элементарного наблюдения. Пусть гомоморфизм и

— гомоморфизм -кратного повторения петель», т. е. композиция петли с отображением переводящим

Предложение (10.6.5).

где обозначает -кратное тензорное произведение на себя

Доказательство. Это утверждение легко вывести из того, что

как представления группы

Комбинируя предложения (10.6.4) и (10.6.5), мы получаем рецепт для разложения тензорных степеней базисного

представления группы Результат очень похож на разложение Вейля представления а под действием но роль симметрической группы выполняет теперь группа

Мы возвратимся теперь к предложению (10.6.1).

Доказательство (10.6.1). Будем писать вместо когда нам понадобится подчеркнуть, что мы имеем в виду центр

Тот факт, что неприводимо относительно действия связной компоненты единицы значит, относительно очевиден. Пусть

— вложение в качестве максимальной абелевой подгруппы в как в разд. 6.5. Заметим, что для

где пробегает корни степени из z. Запишем , как в разд. 10.4, где V — пространство функций с нулевым средним. Мы имеем

где -подпространство периодических функций с периодом состоит из функций удовлетворяющих условию

Из (10.6.6) мы получаем, что и формулы разд. 6.5 показывают, что

Так как неприводимо относительно мы знаем, что неприводимо относительно т. е. фактически относительно Мы даже знаем (см. разд. 10.4), что относительно где Разложение дает разложение значит, разложение

согласовано с действием Это означает, что неприводимо действует на и тривиально на Из этого вытекает, что любой эндоморфизм коммутирующий с действием имеет вид (единица) Так как коммутирует с в то

получаем, что группа действует на и тривиально действует на Пространство неприводимо относительно» этого действия, ибо оно неприводимо даже относительно подгруппы

Доказательство предложения (10.6.1) закончено.