8.8. Периодичность Ботта

Мы уже упоминали в разд. 6.4 теорему периодичности Ботта, которая утверждает, что бесконечная унитарная группа гомотопически эквивалентна своему второму пространству петель Другая формулировка этой теоремы состоит в том, что пространство гомотопически эквивалентно

(Эта формулировка хорошо известна [17]: является стандартной реализацией пространства, которое специалисты по алгебраической топологии обозначают Теория, которую мы построили, содержит доказательство этой теоремы, так как идентификация с подпространством в совпадает с отображением Ботта.

Перед тем как разъяснять доказательство, напомним, что в предложении (8.6.6) мы доказали гомотопическую эквивалентность группы полиномиальных петель группе гладких петель следовательно, что абсолютно стандартно, группе непрерывных петель Гораздо более элементарный факт, который можно доказать теми же рассуждениями, что и в (8.6.6), состоит в том, что пространство гомотопически эквивалентно Поэтому для доказательства теоремы Ботта достаточно доказать

Предложение (8.8.1). Включение

индуцирует изоморфизм гомотопических групп до размерности

Доказательство. Достаточно рассмотреть связные компоненты единицы обоих пространств.

является объединением клеток занумерованных подмножествами Если удовлетворяет условию

для некоторого то любое расположено между и Отсюда вытекает, что значит, лежит в Клетка следовательно, целиком лежит в (Хотя нам и не нужен этот факт, возможно, стоит отметить, что в обозначениях (8.4.5) множество клеток из которые получаются таким способом, совпадает с множеством клеток, для которых

и

Для доказательства предложения (8.8.1) мы должны показать, что комплексная размерность любой клетки из для которой не удовлетворяет (8.8.2), больше либо равна кроме того, что комплексная размерность любой клетки из для которой но 5 не удовлетворяет (8.8.2), также не меньше

Размерность равна (как следует из предложения (7.4.1), если виртуальное число множества равно нулю)

Условие (8.8.2), как легко видеть, эквивалентно условию

И если (8.8.2) не верно, то для и

как нам и хотелось.

Аналогичное рассуждение применимо и к клеткам Мы оставляем читателю проверку того, что формулу из теоремы

(8.4.5) для размерности можно переписать так же, как и (8.8.3), только для сумма распространяется лишь на те значений для которых не лежит в При этом возникает два случая. Если результат ясен. Если нет, то не лежит в если потому что и можно применить уже изложенные аргументы.

Замечание. Тот факт, что теорему Ботта можно доказать описанным выше методом, был впервые отмечен в анонсе [57].