Добавление А. Разложение петель: образующие и соотношения для ...

Грассманово описание группы (см. гл. 8) немедленно» приводит к элегантному описанию группы полиномиальных петель, сохраняющих отмеченную точку, с помощью образующих и соотношений. Это описание, являясь в сущности классической теорией «факторов Бляшке», в последнее время оказалось полезным в теории гармонических отображений (см. приложение В), в теории интегрируемых систем, а также при анализе гомотопического типа группы

Для любого векторного пространства V из определим как элемент из по формуле

где матричные блоки относятся к разложению

Очевидно, что

для ортогональных подпространств

Теорема Элементы порождают Все соотношения между в группе следуют из соотношений

Конечно, из этой теоремы вытекает, что элементы также порождают группу Множество этих образующих составляет проективное пространство в группе

Теорему можно уточнить. Введем подполугруппу в группе состоящую из петель, в которые входят лишь положительные степени z. Любой элемент можно очевидным образом представить в виде для некоторого для некоторого . Далее,

где пространство состоит из петель с числом вращения Теорема выводится из следующих фактов:

Предложение . (i) .

(ii) Умножение является сюръективным отображением, а в общей точке оно биективно.

(iii) Любой элемент допускает разложение

причем для всех (В частности, ) Это разложение единственно.

Доказательство. Вспомним, что отображение (мы пользуемся обозначениями и результатами разд. 8.3) отождествляет с множеством всех подпространств в которые удовлетворяют двум условиям

Элементы из в точности соответствуют тем подпространствам для которых Более общо, если элементы соответствуют подпространствам то для некоторого если и только если

Поэтому разложение это все равно, что фильтрация

для которой Такая фильтрация, очевидно, существует для любого и единственный выбор, приводящий к условию состоит в том, чтобы пространства были как можно меньше, т. е.

Чтобы доказать утверждение о взаимной однозначности в общей точке, заметим, что если то это -мерное векторное пространство, а также -модуль с ниль-потентным действием z. Оператор должен быть нулевым, но оператор вообще говоря, ненулевой. (В качестве примера можно рассмотреть петлю Поэтому для случая общего положения имеется изоморфим -модулей и нет произвола в выборе фильтрации

Из предыдущих рассуждений можно извлечь еще немного информации. Отождествление задает комплексную структуру на и оказывается компактным комплексным алгебраическим многообразием с особенностями. Однако отображение умножения не голоморфно, ибо

не является комплексной группой Ли. Эту ситуацию можно описать следующим образом.

Для любого мультииндекса обозначим символом пространство последовательностей

для которых Тогда является неособым алгебраическим многообразием; фактически представляется как последовательность расслоений с грассманианами в качестве слоев. Как гладкое многообразие

ибо отображается в с помощью отображения вычисления в точке (См. доказательство 8.3.2.) Однако в голоморфной категории эти расслоения нетривиальны. Естественное голоморфное отображение переводящее флаг в можно отождествить с умножением в полугруппе

Наиболее важный случай — это как гладкое многообразие. Легко проверить, что расслоение проективных пространств на происходящее из векторного расслоения где комплексное-касательное расслоение к обозначает тривиальное линейное расслоение. Таким образом, это «проективная компактификация» касательного расслоения Более общо, F - это компактификация пространства -струй голоморфных отображений (в точке

Если обозначает образ то, очевидно справедливо

Предложение является разрешением особенностей,

В заключение этого раздела мы коротко остановимся на следующем вопросе.

Разложение в стабильной теории гомотопий

Пусть обозначает где V — первая координатная ось в Пространство можно отождествить с подпространством в Пространства для образуют возрастающую последовательность; их объединение плотно»

в пространстве непрерывных петель группы и имеет тот же гомотопический тип (см. (8.6.6)). Митчелл [163] использовал эту фильтрацию для анализа стабильного гомотопического типа пространства Заметим, что состоящее из подпространств коразмерности является естественным подпространством в грассманиане который имеет гомотопический тип В частности, на есть естественное -pacслоение со слоем в точке

Предложение Пространство гомеоморфно тотальному пространству естественного расслоения на

Другими словами, это пространство Тома для расслоения на Митчелл, Рихтер и Крэбб доказали (см. [159], [163]), что вложение стабильно разложимо, т. е. что пространство стабильно гомотопически эквивалентно пространству V При и фиксированном пространство XI превращается в что уточняет стабильную гомотопическую эквивалентность Снейса

Доказательство Пусть Отождествим с пространством -подмодулей таких, что Тогда состоит из тех которые лежат, скажем, в Если то так является графиком гомоморфизма -модулей Подмодуль полностью определяется по подмодулю из Пара является точкой естественного -расслоения на