11.4. Условие гладкости

Мы ограничились представлениями групп петель положительной энергии, которые являются гладкими. Предположение о гладкости, возможно, излишне: известно, что это так, если Мы дадим набросок доказательства этого факта окольным путем.

Начнем с односвязной группы Тогда в однородном пространстве есть плотное подпространство которое является орбитой отмеченной точки относительно действия группы полиномиальных петель (см. разд. 3.5). Мы видели в гл. 8, что есть объединение семейства конечномерных клеток занумерованных элементами аффинной группы Вейля Замыкание это компактное комплексное алгебраическое пространство, как правило, имеющее особенности.

Фиксируем однородное линейное расслоение на У и обозначим символом пространство сечений расслоения алгебраических на для каждого Снабдим топологией равномерной сходимости на С для любого Имеется непрерывное отображение где пространство голоморфных сечений расслоения так как любая голоморфная функция на компактном алгебраическом многообразии является алгебраической. Группа полиномиальных петель действует на

Предложение (11.4.1). Отображение инъективно, и его образ плотен.

Доказательство. Инъективность следует из того, что плотно в , и потому достаточно показать, что неприводимое представление группы Это утверждение доказывается точно так же, как и неприводимость оно следует из трех наблюдений:

(i) пространство обладает положительной энергией,

(ii) полиномиальная часть группы действует на с плотными орбитами и

(iii) полиномиальная алгебра Ли действует на пространстве а следовательно, на нем действует и оператор Казимира.

Для доказательства того, что нет других представлений, кроме тех, которые мы уже изучали, т. е. для доказательства того, что все представления с положительной энергией гладкие, достаточно, согласно методу разд. 11.2, доказать, что для любого представления можно построить отображения

аналогичные отображениям в построенным в гладком случае. Если элемент из записан в виде произведения отражений, соответствующих простым корням а группы то замкнутая клетка это образ отображения

заданного формулой

Отображение (11.4.2), очевидно, пропускается через пространство

которое является итерацией расслоения на -сферы на (Заметим, что зависит от выбора разложения элемента

Далее, обладает естественной структурой комплексного многообразия, так как его можно описать и в виде

где

Сюръекдия является бирациональной эквивалентностью алгебраических многообразий, и имеется также сюръективное голоморфное отображение

Чтобы определить мы должны показать, что формула (11.2.1) для определяет элемент из В силу непрерывности и линейности мы можем предполагать, что является весовым вектором относительно действия тора Т из Но тогда преобразуется как вектор конечномерного представления каждой из групп и то же самое справедливо и для при любом Так как любое конечномерное представление группы голоморфно продолжается до представления из этого следует, что обратный образ ограничения на относительно

голоморфен. Сечение голоморфно или, что эквивалентно, алгебраично и на так как голоморфное слоение. Чтобы получить алгебраичность мы должны знать, что пространство нормально в смысле алгебраической геометрии. Если это верно, то доказательство завершается, так как точно такие же рассуждения позволяют построить отображение

Вообще говоря, не известно, являются ли замкнутые клетки Брюа нормальными. Для нормальность была доказана Люстигом (ср. работу [106], результаты которой надо объединить с результатами из [95]), что позволяет нам сформулировать

Предложение (11.4.3). Любое представление группы положительной энергии существенно эквивалентно гладкому представлению.