14.5. Резольвента Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда

В этом разделе мы предполагаем, что группа G односвязна. и что к — антидоминантный вес.

Формулу для характера (14.4.8)

где обозначает можно было бы естественно» объяснить, если установить существование точной последовательности или «резольвенты»

для неприводимого представления с помощью модулей Верма. И действительно, такая резольвента существует: она отражает стратификацию основного однородного пространства которое мы изучали в разд. 8.7, и называется резольвентой Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда (ср. [10]). Она: важна и интересна и сама по себе. В этом разделе, который непосредственно продолжает гл. 11, мы попытаемся описать эту резольвенту, объяснить, почему она существует, и привести одно-два приложения; мы не приводим полного доказательства -точности.

Геометрически естественнее обсудить последовательность, антидвойственную к (14.5.1); конечно, они эквивалентны. Перед тем как непосредственно приступать к БГГ-резольвенте, мы, следуя оригинальной работе [10], опишем более очевидную резольвенту, которую будем называть слабой БГГ-резольвентой. Она может заменить последовательность (14.5.1) при объяснении формулы для характера и во многих других приложениях. Для групп петель она впервые получена Гэрлэндом и Деповским: в [56].

Начнем с Комплекс де Рама

голоморфных дифференциальных форм на открытом плотном: подмножестве ацикличен, так как голоморфно стягиваемо. Поэтому (14.5.2) дает резольвенту для

состоящую из -модулей конечного типа с положительной энергией. Оператор Казимира для действует на (14.5.2). Так как коммутирует с мы получаем

где первое слагаемое справа обозначает нулевое собственное подпространство оператора а второе — сумму остальных корневых подпространств. (В конечномерном случае -корневое подпространство линейного оператора это множество векторов, которые аннулируются степенью . В нашей ситуации оператор сохраняет разложение по энергии, и мы определяем как замыкание -корневых подпространств для при каждом уровне энергии.) Поскольку аннулирует постоянные функции в является резольвентой для С.

Чтобы описать более явно, мы заметим, что пространство голоморфных сечений над однородного векторного расслоения на со слоем который является представлением группы Это представление обладает такой фильтрацией

состоящей из -инвариантных подпространств, что каждый фактор одномерен и соответствует характеру группы который равен сумме положительных корней группы Фильтрация слоя дает фильтрацию однородного векторного расслоения и, значит, композиционный ряд для пространства последовательные факторы которого имеют вид т. е. антидвойственны модулям Верма V, таким, что вес пробегает суммы положительных корней. Слагаемое имеет композиционный ряд, факторы которого — это те модули для которых собственное значение оператора Казимира равно нулю. Из леммы (14.4.7) и последующего обсуждения следует, что единственно возможные веса это где пробегает элементы длины в аффинной группе Вейля.

Комплекс это слабая БГГ-резольвента тривиального модуля С. Она отличается от БГГ-резольвенты тем, что ее члены — не суммы антидвойственных модулей к модулям Берма, а лишь обладают композиционными рядами с факторами, которые являются антидвойственными к модулям Верма.

Слабая БГГ-резольвента общего представления это -корневое подпространство оператора Казимира на голоморфном комплексе де Рама на с коэффициентами в Здесь следует отметить, что голоморфные -формы на: со значениями в можно отождествить с голоморфными сечениями однородного векторного расслоения на со слоем который является представлением группы

Теперь мы возвращаемся к БГГ-резольвенте. Мы уже видели, что если реализовать как пространство голоморфных сечений линейного расслоения на однородном пространстве У, то антидвойственное отображение к канонической сюръекции" из (14.5.1) можно отождествить с отображением ограничения сечений

где открытый плотный страт пространства У. Начиная с этого места, мы зафиксируем линейное расслоение и для любого открытого подмножества будем писать вместо . Например, отображение (14.5.3) превращается в

Сечение расслоения происходит из сечения расслоения если и только если оно продолжается на страты коразмерности один: действительно, в этом случае оно продолжается и на все остальные страты по теореме Хартогса разд. 11.3). Далее, содержится в открытом множестве которое изоморфно Положим Если коразмерность страта равна единице, т. е. то и потому при ограничении дает . Поэтому лежит в если и только если каждое продолжается на возникает точная последовательность

Фактор пространство это пространство главных частей мероморфных сечений с полюсом вдоль стратам Последовательность (14.5.4) — это начало нужной резольвенты, так как справедлива

Лемма (14.5.5). Если то пространство является естественно двойственным к модулю Верма

Доказательство. Мы должны показать, что имеется изоморфизм

как модулей над где обозначает пространство голоморфных функций на обозначает С с действием которое задано характером

Элементы длины единица в это отражения, связанные с простыми аффинными корнями. Открытое множество соответствующее простому корню а, — это свободная орбита под действием группы где однопараметрическая подгруппа в порожденная (ср. разд. 11.3). Если мы тривиалнзуем совместно с то можно отождествить с пространством голоморфных функций на со значениями в где Поэтому (так как наша задача — показать, что

совместима с

Отождествим сферу Римана с ее образом в относительно отображения, индуцированного (ср. (11.3.2)). Тогда это отмеченная точка в это это Элемент ) действует на 52 сдвигами Расслоение можно тривиализовать над так, чтобы это было совместимо с Тогда превращается в подпространство функций с полюсом порядка в бесконечности, где степень Факторпространство можно отождествить с подпространством голоморфных функций на которые имеют нуль порядка больше в нуле; они отождествляются с с помощью -кратного дифференцирования.

Наконец, мы возвращаемся к действию Тривиализовав — мы должны отождествить с Но -кратное дифференцирование переводит нас в А это то, что нужно, так как

Замечание. Вектор младшего веса в модуле Верма, антидвойственном к это комплексно сопряженное к

отображению

где второе отображение — это вычет в

Тот прямолинейный подход, которому мы следовали, очевидно, не пригоден для продолжения последовательности (14.5.4) с помощью изучения стратов более высоких коразмерностей. Необходимо использовать более изощренную технику. По причинам, которые мы скоро объясним, мы бы хотели иметь возможность заменять У «утолщенным» пространством которое содержит У в качестве плотного подпространства. Чтобы проделать все с максимально достижимыми общностью и ясностью, мы будем действовать аксиоматически, потребовав от следующих свойств.

(I) Z является комплексным многообразием с действием действие голоморфно.

(II) В Z имеется отмеченная точка орбита которой плотна, а стабилизатор равен .

(III) Z стратифицировано стратами которые соответствуют элементам из Страты инвариантны относительно действия и страт открыт.

(IV) Для любого действие индуцирует изоморфизм комплексных многообразий

Пусть это Из предшествующих предположений следует, что отображение вкладывает как плотное подпространство. Мы. предполагаем, что

(V) Естественное вложение имеет плотный образ.

Все предыдущие предположения справедливы при Мы добавим еще одно, утверждающее, грубо говоря, что страты голоморфно выпуклы. Неизвестно, верно ли это для .

(VI) Для любого и любого конечномерного многообразия Штейна группы равны нулю при Здесь С — пучок голоморфных функций На

Из предположений (IV) следует, что голоморфное линейное расслоение на У канонически продолжается на фактически является канонически "эквивариантно тривиальным на любом открытом множестве и его функции перехода зависят лишь от конечного числа переменных, трансверсальных к страту, которые одинаковы и для У, и для Мы

будем обозначать через пучок голоморфных сечений на и в дальнейшем обсуждении будет подразумеваться, что все труппы когомологий вычисляются с коэффициентами в подходящем ограничении пучка О

Мы должны решить, что будет играть роль при для общего страта Нужная нам группа — это группа когомологий пучка с носителями в замкнутом подмножестве Мы напомним, что определяется помощью выбора вялой резольвенты ([21], [91])

пучка и взятия когомологий коцепного комплекса где обозначает сечения пучка с носителями в Если то в силу длинной точной последовательности, связанной с короткой точной последовательностью коцепных комплексов

В общей ситуации справедливо

Предложение (14.5.6). Группа естественно антидвойственна модулю Верма при

Мы на время отложим доказательство этого предложения.

Чтобы получить БГГ-резольвенту, рассмотрим вопрос о вычислении Пусть — вялая резольвента пучка на и пусть обозначает пространство сечений Тогда по определению — это когомологии коцепного комплекса Пусть обозначает объединение стратов пространства коразмерности о. Это замкнутое подмножество в Мы можем задать фильтрацию коцепного комплекса подкомплексами где обозначает сечения пучка с носителями в Эта фильтрация приводит стандартным образом [62] к спектральной последовательности с пределом которая начинается с

Лемма (14.5.8).

Доказательство. Так как пучок вялый, то фактор» это пространство сечений с носителями в Но в подмножество это объединение непересекающихся замкнутых множеств при Сечения с носителем в это, таким образом, суммы сечений с носителями в Так как является окрестностью мы получаем, что

откуда уже следует лемма.

Лемма (14.5.8) вместе с предложением (14.5.6) дает

Предложение (14.5.9). Группы это когомологии коцепного комплекса

где

Доказательство. Мы показали, что в спектральной последовательности группы равны при Это означает, что спектральная последовательность превращается в коцепной комплекс (14.5.9). Проверим, что эта спектральная; последовательность сходится. Заметим, что если заменить на для некоторого то фильтрация коцепного комплекса имеет лишь членов и, очевидно, приводит к сходящейся последовательности. Это показывает, что можно вычислять с помощью обрезанного комплекса

Однако это объединение открытых множеств так как пучки вялые, мы получаем

Это приводит к короткой точной последовательности [113]

В этой последовательности член исчезает, так как не зависит от при поэтому при

Коцепной комплекс С из предложения -это и есть БГГ-резольвента. Мы показали, что точность этого комплекса эквивалентна обращению в нуль при . К сожалению, прямое доказательство этой теоремы об обращении в нуль нам неизвестно: ни одно из двух доказательств ее конечномерных аналогов, которые мы упоминали в разд. 14.2, не приложимо в нашем случае. С другой стороны, комбинаторная конструкция БГГ-резольвенты из [10] применима и к алгебрам Каца — Муди, из чего можно вывести теорему об обращении в нуль. (В конечномерном случае это третье доказательство теоремы об обращении в нуль.)

Теперь мы приведем отложенное доказательство (14.5.6).

Доказательство предложения (14.5.6). Докажем следующее утверждение индукцией по

Если голоморфно выпуклое открытое подмножество в и мы определяем как то

а

кроме того, этот изоморфизм перестановочен с действием

Здесь слова «голоморфно выпуклое» означают, что обладает свойством которым обладает Предложение (14.5.6) получается при

Пусть где отражение, связанное с простым корнем Тогда фактически

(Легко проверить, что и что Пусть Ограничение сечений с на приводит к точной последовательности

Первые две группы в этой последовательности изоморфны соответственно группам

но -действие на них подкручено сопряжением с помощью Далее, является голоморфно выпуклым открытым множеством в (так как оно является дополнением к неособой гиперповерхности в Z, a - открытая окрестность Поэтому вторая группа в (14.5.11) совпадает с и по нашему предположению индукции обе группы в (14.5.11) равны нулю при а при соответствующий гомоморфизм совпадает с отображением ограничения

Соответствующий гомоморфизм в предложении (14.5.9) при это, следовательно, отображение

где Поскольку он инъективен, получаем, что при является его коядром.

Но где открытое множество страта . Рассуждения из доказательства леммы (14.5.5) теперь показывают, что коядро (14.5.12) — это Так как это заканчивает доказательство предложения (14.5.6). (В лемме (14.5.5) вес к предполагался антидоминантным. Но все, что там использовалось, — это то, что к В нашем случае (о к) так как это в точности условие

«Утолщение» однородного пространства Y

Обычный подход к группам типа использует теорему Дольбо [15]. Если мы знаем, что -лемма Пуанкаре [68] локально справедлива на комплексном многообразии то это когомологии -комплекса А, где пространство гладких форм типа с коэффициентами в Мы могли бы тогда конкретизировать предыдущую дискуссию.

Вместо выбора вялой резольвенты пучка мы могли бы просто профильтровать комплекс подкомплексами состоящими из форм, обращающихся в нуль в некоторой окрестности объединения клеток размерности в многообразии

К сожалению, в настоящее время неизвестно, для какого класса бесконечномерных многообразий справедлива -лемма Пуанкаре. (Известно, что она неверна для -форм на гильбертовом пространстве Наиболее правдоподобная гипотеза — она справедлива для многообразий, которые моделируются векторными пространствами, двойственными к ядерным пространствам Фреше (ср. [31], а также [36], [30]).

Мы уже отмечали ранее, что было бы весьма интересно найти инвариантную меру на однородном пространстве У. Однако очень маловероятно, что такая мера имеется на самом У. Если мы рассмотрим более или менее эквивалентное пространство т. е. пространство гладких петель для то имеется хорошо известная мера Винера на пространстве непрерывных петель [81]. Эта мера квазиинвариантна относительно негладкие петли имеют меру нуль относительно этой меры.

Поэтому разумно предположить, что существует «утолщение» Z пространства У, такое, что

(i) Z - комплексное многообразие, которое моделируется двойственным к касательному пространству многообразия

(ii) Z обладает свойствами , перечисленным выше,

(iii) для любого антидоминантного веса имеется мера с коэффициентами в линейном расслоении инвариантная относительно

(iv) любое голоморфное сечение расслоения конечной энергии продолжается на и квадратично интегрируемо относительно

Можно было бы надеяться, что и -лемма локально выполняется на

Если гипотеза об утолщении справедлива, то теория представлений групп петель окажется значительно яснее. Аналоги этой гипотезы для групп вещественно-аналитических и полиномиальных петель довольно просты в доказательстве. По крайней мере ясны кандидаты на роль В вещественно-аналитическом случае мы положим где это группа

всех голоморфных отображений некоторого переменного кольца

а подгруппа отображений, продолжающихся на полусферу . В полиномиальном случае заменяется группой всех «петель» со значениями в матричные элементы которых лежат в поле частных кольца формальных стеленных рядов.