4.3. Коприсоединенное действие группы LG на ... и его орбиты

В этом разделе обозначает расширение алгебры Ли с помощью соответствующее по формуле (4.2.2) инвариантной билинейной форме . С помощью формы определим форму на также обозначаемую формулой

Поскольку мы имеем дело с центральным расширением, присоединенное действие алгебры Ли на себе фактически есть "действие алгебры задаваемое формулой

Предложение (4.3.2). Присоединенное действие алгебры Ли на возникает из действия группы задаваемого формулой

Здесь обозначает присоединенное действие элемента

Доказательство. Нужно лишь проверить, что указанная формула действительно определяет групповое действие и что его производная в задается формулой (4.3.1). Оба этих факта проверяются непосредственно.

Рассмотрим теперь двойственное пространство Оно входит в точную последовательность

на которой действует группа Если отождествить и отобразить с помощью формы то мы получим

Предложение (4.3.3). Коприсоединенное действие группы на задается формулой

Интерес к этому коприсоединенному действию обусловлен эвристическим принципом Кириллова [92], утверждающим, что неприводимые унитарные представления группы грубо говоря, соответствуют орбитам в ее коприсоединенном действии. Немного точнее, соответствие имеется с орбитами, удовлетворяющими описываемому ниже условию целочисленности

Предположим, что скалярное произведение на положительно определено. Тогда отождествляется с плотным подпространством в которое мы будем называть «гладкой частью» двойственного пространства. Орбиты действия на не», группы можно описать следующим образом.

Для каждого гладкого элемента имеется единственный гладкий путь удовлетворяющий, дифференциальному уравнению

с начальным условием Поскольку функция периодична по 6, мы получаем

где Если преобразуется под действием элемента то заменяется на где

Таким образом, меняется на В действительности формула (4.3.4) задает биекцию между и пространством отображений таких, что для некоторого Отсюда мы заключаем, что справедливо

Предложение (4.3.6). (i) Если группа G односвязна и то орбиты группы на гладкой части пространства соответствуют в точности классам сопряженности группы G под действием отображения

Соответствие устанавливает изоморфизм стабилизатора элемента в группе и централизатора элемента в группе при этом у стабилизирует тогда и только тогда, когда

Согласно идее А. А. Кириллова, унитарные неприводимые представления группы соответствуют коприсоединенным орбитам удовлетворяющим условию

(С) если стабилизатор элемента Фей есть подгруппа то является производной некоторого характера компоненты единицы в

Чтобы применить этот принцип в нашем случае, нам нужно знать, что есть алгебра Ли расширения группы с помощью группы окружности Условия, обеспечивающие существование будут найдены в дальнейших разделах. Принимая пока его существование на веру, мы сразу же видим, что если

орбита, лежащая в допустима, то должно быть целым числом. Тогда орбита в гладкой части двойственного пространства соответствует классу сопряженности элемента который мы можем считать лежащим в данном максимальном торе Если выбрать элемент

так, чтобы то элемент принадлежит соответствующей орбите. Для достаточно общего его централизатор в G есть и условие очевидно, сводится к требованию, что лежит в решетке В действительности нетрудно проверить, что это так в любом случае. С другой стороны, элементы лежат на одной орбите, если для некоторых и из группы Вейля группы Таким образом, получаем

Предложение (4.3.7). Если ненулевое целое число, ко-присоединенные орбиты в гладкой части пространства удовлетворяющие условию соответствуют орбитам аффинной группы Вейля на решетке где элемент действует на Т по формуле

Мы увидим ниже (в гл. 9 и 11), что при эти орбиты соответствуют в точности представлениям группы с положительной энергией. Стоит заметить, далее, что орбита лежит в гладкой части пространства если она устойчива относительно действия группы Т поворотами на в самом деле, если принадлежит такой устойчивой орбите, то должно выполняться равенство

для некоторого откуда вытекает, что элемент гладкий. Это хорошо согласуется с точкой зрения Кириллова, поскольку представления с положительной энергией устойчивы относительно поворотов.