5.2. Образующие и соотношения

Теперь мы можем описать алгебру Ли а точнее, ее универсальное центральное расширение, с помощью образующих и соотношений. Если конечномерная полупростая алгебра», и если для каждого корня а в корневом пространстве да выбран

ненулевой элемент (см. разд. 2.4), то алгебра порождена элементами более того, она порождена элементами для где простые корни. Скобка пропорциональна кокорню если нормализовать так, что то следующие соотношения образуют полное множество соотношений, определяющих алгебру

Здесь обозначает операцию а — некоторые целые числа, образующие -матрицу, называемую матрицей Картана алгебры Эта матрица полностью определяет структуру алгебры Доказательство см. в [134].

Перейдем теперь к группам петель. Выберем элементы соответствующие простым аффинным корням. В обозначениях разд. 5.1 при 1 в качестве можно взять обычные элементы в а при положить (здесь есть число простых сомножителей

Предложение (5.2.2). Если полупроста, то алгебра Ли порождена элементами соответствующими простым аффинным корням.

Доказательство. Мы можем считать, что проста. Тогда элементы для порождают алгебру Но где а — старший корень в Поскольку присоединенное представление неприводимо, применяя элементы алгебры мы получим все пространство так что содержится в алгебре, порожденной элементами и Далее, элемент пропорционален где а индекс выбран так, чтобы Это дает нам пространство и так далее.

Теперь мы можем сразу же проверить, что в выполняются все соотношения (5.2.1), где пробегают значения от 1 до Матрица Картана (размера задается формулой

где при при Поскольку лишь из векторов линейно независимы, мы видим, что ранг матрицы Картана равен

Хотя соотношения (5.2.1) выполняются в они не образуют ее системы определяющих соотношений. Теорема Габбера и Каца [52], которую мы не будем доказывать в этой утверждает, что эти соотношения задают универсальное центральное расширение алгебры с помощью описываемое коциклом со из (4.2.7). Мы ограничимся здесь тем фактом, что соотношения (5.2.1) выполняются в алгебре Для этого отождествим и определим элементы алгебры формулами

Легко проверить, что элементы удовлетворяют соотношениям (5.2.1). Кроме того, эти элементы порождают алгебру поскольку скалярные произведения порождают пространство

Имея в виду предшествующие формулы, при изучении центрального расширения группы определяемого билинейной формой естественно сопоставить каждому аффинному корню аффинный кокорень определяемый формулой

Беря элемент вместе с мы получим тогда копию алгебры Ли группы вложенную в экспоненцируя, мы приходим к гомоморфизму

Из рассуждений в доказательстве (3.5.3), очевидно, вытекает

Предложение (5.2.5). Если группа G односвязна, то подгрупп соответствующих простым аффинным корням, порождают группу

Пример. Группа порождена подгруппой постоянных петель и копией группы состоящей из элементов

Вторая подгруппа получается из первой внешним автоморфизмом группы соответствующим нетривиальному элементу центра группы (см. (3.4.4)).