4.2. Расширения алгебр Ли

На уровне алгебр Ли расширения можно очень просто определить и классифицировать: они соответствуют в точности инвариантным симметрическим билинейным формам на Как векторное пространство есть а скобка задается формулой

для где есть билинейное отображение

симметрическая инвариантная форма на алгебре Ли .

Напомним, что если полупроста, то все инвариантные билинейные формы на симметричны (см. (2.3.2)).

Для того чтобы формула (4.2.1) определяла алгебру Ли, форма (а должна быть кососимметричной (это ясно из интегрирования по частям в (4.2.2)) и удовлетворять условию коцикла

Это условие вытекает из тождества Якоби в алгебре Ли и того факта, что скалярное произведение на инвариантно:

В качестве одного из первых свойств коцикла упомянем тот факт, что он инвариантен относительно действия группы диффеоморфизмов окружности, сохраняющих ориентацию, т. е.

для (здесь обозначает это означает, что действует как группа автоморфизмов расширенной алгебры Ли. Мы увидим далее, что она действует также на групповом расширении. Важно, что наше расширение выделяет специальную ориентацию на диффеоморфизмы, обращающие ориентацию, могут действовать на лишь обращая ядро

По существу кроме коцикла со, задаваемого (4.2.2), на нет других коциклов. Чтобы сделать это утверждение точным, заметим, что инвариантен относительно сопряжения постоянными петлями, т. е. Для где это присоединенное действие элемента на Нет необходимости рассматривать коциклы, не инвариантные в этом смысле. В самом деле, для любого коцикла а коцикл определяет то же расширение, что и а, где определяется формулой Поэтому расширение, определяемое с помощью а, задается также инвариантным коциклом

получаемым усреднением а по компактной группе G (заметим, что тождество коцикла (4.2.3) выражает в точности тот факт, что класс когомологий коцикла не меняется под действием инфинитезимального сопряжения).

Таким образом, справедливо

Предложение (4.2.4). Если алгебра Ли полупроста, то все непрерывные G-инвариантные коциклы на алгебре Ли задаются формулой (4.2.2).

Замечание. Условие полупростоты здесь нельзя опустить. Например, если то любая кососимметричная билинейная форма на векторном пространстве является коциклом. Однако, если потребовать, чтобы коциклы были инвариантными, относительно группы то полупростоты не требуется, так как есть неприводимое представление группы и потому легко видеть, что единственная билинейная форма на инвариантная относительно с точностью до скалярного множителя есть

Доказательство (4.2.4). Каждый коцикл можно продолжить до комплексного билинейного отображения Элемент раскладывается в ряд Фурье - где По непрерывности а полностью определяется своими значениями на элементах вида Для будем писать Тогда есть G-инвариантное билинейное отображение таким образом, обязательно симметричное, причем Тождество коцикла (4.2.3) превращается в утверждение

для всех Полагая получим, что для; всех Полагая получим

откуда

Полагая в получим

откуда

Отсюда вытекает, что при поскольку

возвращаясь к элементам имеем

т. е. коцикл вида (4.2.2).

Универсальное центральное расширение алгебры определяется предложением (4.2.4). Его можно переформулировать следующим образом. Для каждой конечномерной алгебры Ли имеется универсальная инвариантная симметрическая билинейная форма

из которой любая такая -значная форма получается с помощью единственного линейного отображения (разумеется, К есть просто двойственное пространство к пространству всех -значных форм). Коцикл задаваемый формулой

определяет расширение алгебры Ли с помощью К, которое по предложению (4.2.4) является универсальным центральным расширением для если полупроста. Для полупростых групп пространство К можно отождествить с поскольку билинейная форма порождает инвариантную кососимметричную -форму

причем так получаются все элементы пространства Если проста, то

Расширения алгебры Ли Map (X; g)

Перед тем как оставить тему расширений алгебр Ли, стоит отметить, что нахождение всех центральных расширений алгебры Ли для произвольного гладкого многообразия X требует лишь очень немногих дополнительных усилий. Наметим вкратце доказательство следующего результата, являющегося очень простым частным случаем общей теории Лодей и Квиллена [104], связывающей когомологии алгебр Ли с

когомологиями Конна [33]. Ограничимся случаем простой алгебры Тогда скалярное произведение существу единственно.

Предложение (4.2.8). Если алгебра Ли проста, то ядро универсального центрального расширения алгебры есть пространство -форм на X по модулю точных -форм. Это расширение задается коциклом

Эквивалентным образом, расширения алгебры Ли с помощью соответствуют одномерным замкнутым потокам С на X, причем коцикл задается интегрированием выражениям (4.2.9) по С.

Перед тем, как доказывать это предложение, заметим, что с некоторой точки зрения это разочаровывающий поскольку он говорит нам, что при нет «интересных» расширений. Точнее, по произвольной гладкой петле в X всегда можно построить расширение алгебры: Ли беря обратный образ универсального расширения алгебры под действием Предложение (4.2.8) утверждает,, что любое расширение есть взвешенная линейная комбинация расширений такого вида. Первый «интересный» класс когомологий алгебры Ли для компактного -мерного многообразия X лежит в размерности он определяется коциклом

где инвариантный многочлен степени на

Доказательство (4.2.8). Запишем алгебру как где А — кольцо гладких функций на Каждая G-инвариантная вещественнозначная билинейная форма на должна иметь вид

где линейная форма. Такие формы а отождествляются с распределениями на с компактным носителем. Условие коцикла превращается в утверждение о том, что обращается в нуль на функциях вида

гладкие функции на Это означает, что если носители функций не пересекаются, так как тогда и можно подобрать такую функцию что Таким образом, носитель распределения а лежит на

диагонали. Предложение (4.2.8) утверждает, что зависит только от Это в свою очередь сводится к двум: фактам:

(ii) , где I — идеал функций из равных на диагонали.

Оба этих факта непосредственно вытекают из (4.2.10), поскольку идеал I аддитивно порожден функциями вида

Расширения алгебры Ли ...

В этом месте очень естественно привести другое вычисление, относящееся к алгебре Ли гладких векторных полей на окружности, т. е. к алгебре Ли группы Комплексно-линейный -коцикл

где определяется числами где Ясно, что

Тождество коцикла для показывает, что класс когомологий коцикла а не меняется при поворотах, поэтому (с помощью усреднения) мы можем считать, что сам а инвариантен. Тогда при Если записать и заметить, что то тождество коцикла дает

Это позволяет выразить все через Общее решение имеет вид Но есть кограница, так что значение несущественно. Мы доказали

Предложение (4.2.11). Наиболее общее центральное расширение алгебры Ли с помощью задается коциклом где

Указанный коцикл характеризуется тем, что он инвариантен относительно поворотов и равен нулю на подалгебре