6.2. Ограниченная полная линейная группа гильбертова пространства

Для получения более тонких результатов мы должны ввести ограниченную полную линейную группу (эта группа была впервые изучена Шейлом [136]). Она определяется для гильбертова пространства снабженного поляризацией, т. е. разложением в ортогональную сумму двух замкнутых подпространств. Такое разложение удобно задавать с помощью унитарного оператора равного на и —1 на Ограниченная полная линейная группа состоит из операторов, очень близких к тому, чтобы сохранять разложение

Определение (6.2.1). Группа это подгруппа в состоящая из операторов А, таких, что коммутатор является оператором Гильберта — Шмидта.

Напомним (см. [125]), что оператор Г: есть оператор Гильберта — Шмидта, если для некоторой (а значит, и для любой) полной ортонормированной последовательности ряд сходится. Тогда норма Гильберта — Шмидта равна Операторы Гильберта — Шмидта в образуют двусторонний идеал в (отсюда следует, что действительно есть группа) и сами образуют гильбертово пространство относительно нормы

Определение группы может быть переформулировано следующим образом. Если элемент А группы записан как -матрица

по отношению к разложению то А лежит в тогда и только тогда, когда и с являются операторами Гильберта — Шмидта.

Чтобы дать еще одну формулировку, введем банахову алгебру всех ограниченных операторов таких, что есть оператор Гильберта — Шмидта. Норма определяется формулой

Группа есть группа обратимых элементов в мы снабжаем ее топологией, определяемой нормой и тогда она является комплексной банаховой группой Ли.

Мы определим также ограниченную унитарную группу.

Определение (6.2.3). Группа есть подгруппа в состоящая из унитарных операторов.

Группа является вещественной банаховой группой Ли. Стандартное полярное разложение (см. [125]) операторов в гильбертовом пространстве показывает, что есть топологическое произведение и стягиваемого пространства положительно определенных элементов. Группа является комплексификацией группы

Если оператор А вида (6.2.2) принадлежит то его компоненты являются операторами Фредгольма, т. е. имеют конечномерные ядра и коядра. В самом деле, оператор является фредгольмовым, если он обратим по модулю компактных операторов; но из обратимости оператора А вытекает, что обратимы по модулю операторов Гильберта — Шмидта, являющихся компактными. (Обзор операторов Фредгольма с точки зрения тополога дан в приложении к [3]. В [40] имеется подробное обсуждение с точки зрения теории операторов.) Оператор Фредгольма а обладает целочисленным инвариантом называемым индексом-, он определяется формулой

Индекс инвариантен относительно непрерывной деформации и разбивает пространство операторов Фредгольма на связные компоненты. Отсюда следует, что группа распадается в несвязное объединение кусков, характеризуемых целым числом (заметим, что , поскольку оператор может быть линейно продеформирован в обратимый оператор

в классе операторов Фредгольма). В действительности два элемента лежат в одной и той же связной компоненте, если это вытекает из следующего, значительно более точного результата, показывающего, что имеет гомотопический тип пространства, которое топологи обозначают

Предложение (6.2.4). Отображение из в пространство операторов Фредгольма в является гомотопической эквивалентностью.

Доказательство. Рассмотрим отображение

его первый столбец. Образ этого отображения есть открытое подмножество в где пространство операторов Гильберта — Шмидта С другой стороны, есть также однородное пространство где — подгруппа элементов вида

Эта подгруппа стягиваема, поскольку она есть полупрямое произведение группы и векторного пространства (напомним (см. [96]), что полная линейная группа гильбертова пространства стягиваема). Поэтому отображение есть гомотопическая эквивалентность.

Но проекция также является гомотопической эквивалентностью, поскольку прообраз элемента а есть стягиваемое открытое множество в состоящее из всех операторов с, таких, что инъективно (отображение со стягиваемыми слоями является гомотопической эквивалентностью при выполнении некоторых локальных условий (см. эти условия автоматически выполняются для проекции из открытого множества в банаховом пространстве).